Solution globale(sur IR) des equations differentielles du type Lipschitz.

Exercice.

1.Question préliminaire.

Soit (E,I.I) un espace de Banach.CB=C(IR,E) désigne

l'espace des fonctions continues et bornées sur IR,

à valeurs dans E.On sait que CB,muni de la norme

IIxII=sup{Ix(t)I,t dans IR}

est de Banach.

Soit c>0 et considérons l'espace:

CB'=C'(IR,E)=

{x:IR--->E ,continue et sup(exp(-cItI)Ix(t)I ,t dans IR) est fini}

ou ItI dénote la valeur absolue de t

Démontrer que CB' ,muni de la norme:

IIIxIII= sup{exp(-cItI)Ix(t)I, t dans IR}

est de Banach,et que l'espace CB s'injecte continuement

et strictement dans CB'.

2.Soit f une application lipschitzienne de E dans E,c-à-d,:

Il existe k>0 tel que If(x)-f(y)I<= kIx-yI, sur ExE.

Considérons le problème de Cauchy:

x'=f(x) (1) x(0)=x_{0} appartient à E (2).

Pour x dans CB' et t dans IR,soit l'application:

Tx(t)=x_{0}+ Intégrale (0 à t)f(x(s))ds.

i)Montrer que CB' est stable par T.

ii)On prend c>k.Montrer que T est strictement

contractante de CB' dans CB'.

En déduire que le problème de Cauchy (1)-(2) admet une

solution unique dans CB'.