Bornage et périodicité des solutions des équations differentielles(d'après Massera)

L'exercice,ci-dessous, présente le premier résultat

dans le fameux article de Massera(1950) ,qui met en

relief,le lien entre l'existence des solutions bornées

et l'existence des solutions périodiques.

Exercice.

On considère l'équation différentielle scalaire suivante:

x'=f(t,x) (*)

ou f est une fonction continue de IR^{+}xIR dans IR,et

p-périodique par rapport a t(p>0).

(c-à-d,pour x dans IR,f(t+p,x)=f(t,x)

pour tout t dans IR^{+}).

On suppose que l'équation(*),verifie les conditions de

l'unicite des solutions par rapport aux conditions

initales.

Soit y une solution de l'équation(*),bornée sur IR^{+}.

i)Montrer que si y(0)=y(p),alors y est p-périodique.

ii)Supposons que y(0)est différent de y(p),par exemple

y(0)< y(p).Montrer que,pour tout t dans [0,p], la suite

{y_{n}(t)=y(t+pn)},est strictement croissante dans IR.

iii)Dans l'espace des fonctions continues ,C([0,p],IR),

muni de la norme sup, démontrer que la suite {y_{n}}

est uniformément convergente vers une solution

p-périodique de l'équation(*).

(Utiliser le théorème d'Ascoli et le théorème de Dini)

Formulation modulaire de la version locale paramétrée du theoreme du point fixe de Banach.

Dans les espaces modulaires,le résultat suivant, propose une

généralisation de la version locale paramétrée du principe

de contraction dans les espaces de Banach:

Execice(texte provisoire).

Soient X un ensemble quelconque et (E,rho)un espace modulaire

complet,où le modulaire rho vérifie la propriéte de Fatou

Soit la boule B=B(z,r)={x:rho(x-z) < r}.

T est une application deXxB dans E vérifiant:

Il existe deux constantes ,k dans]0,1[ et p>1, telles que:

rho(p(T(x,y)-T(x,y'))) <= k rho(y-y')

pour tout x dans X et tout (y,y') dans BxB.

On suppose que, pour tout x dans X, rho(q(T(x,z)-z))< r(1-k), où q est

le conjugué de p,c-à-d ,(1/p)+(1/q)=1

Démontrer qu'il existe une application unique f de X dans B telle que :

f(x)= T(x,f(x)) sur X. On suppose de plus que X est un espace modulaire

quelconque (ou espace topologique vérifiant le premier axiome de

dénombrabilité), T est continue par rapport à son premier argument

et rho vérifie la condition delta2.

Démontrer que f est continue sur X.

Version locale parametree du theoreme du point fixe de Banach

Exercice

Soient X un ensemble quelconque et E un espace metrique

complet.B est une boule ouverte dans E de centre z et de rayon

r.T est une application de XxB dans E verifiant :

Il existe k dans ]0,1[ tel que d(T(x,y),T(x,y'))\leq k d(y,y')

pour tout x dans X et tout (y,y') dans BxB. On suppose que pour

tout x dans X,d(T(x,z),z)< r(1-k).

Demontrer qu'il existe une application unique f de X dans

B telle que : f(x)= T(x,f(x)), sur X. Si de plus, X est un espace

topologique et T est continue par rapport a son premier argument,

montrer que f est continue sur X.

Preuve:

D'apres la version locale(voir le resultat ci-dessous),pour

chaque x dans X,l'application T(x,.) de B dans E possede

un point fixe unique,note f(x),c-à-d,T(x,f(x))=f(x),ce qui

permet de definir une application f de X dans B.Demontrons

que f est unique;en effet:

Soit g une autre application de X dans B telle que T(x,g(x))=g(x),

alors,pour tout x dans X:

d(f(x),g(x))=d(T(x,f(x)),T(x,g(x)))\leq k d(f(x),g(x))

Ceci entraine que f=g sur X.

pour la continuite de f,soit x,x' dans X,alors,on a :

d(f(x),f(x'))=d(T(x,f(x)),T(x',f(x')))

\leq d(T(x,f(x)),T(x,f(x')))+d(T(x,f(x')),T(x',f(x')))

\leq k d(f(x),f(x'))+d(T(x,f(x')),T(x',f(x')))

De la: d(f(x),f(x'))\leq (1/1-k) d(T(x,f(x')),T(x',(x'))

D'ou la continuite de f en x'

Remarque.

Pour une demonstration directe,dans les espaces de Banach,

de ce resultat,voir[Dieudonne].Rappelons que ce resultat est utlise pour

une demonstration directe du theoreme des fonctions implicites.

voir[Dieudonne]-[Deimling ].