Exercice.
1.Question préliminaire.
Soit (E,I.I) un espace de Banach;CB=C(IR,E) désigne
l'espace des fonctions continues et bornées sur IR et
à valeurs dans E.On sait que CB,muni de la norme
IIxII=sup{Ix(t)I,t dans IR},
est de Banach.Soit c > 0 et considérons l'espace:
CB'=C'(IR,E)
={x:IR--->E ,continue et sup(exp(-cItI)Ix(t)I ,t dans IR) est fini}
oû ItI dénote la valeur absolue de t
Démontrer que CB' ,muni de la norme:
IIIxIII= sup{exp(-cItI)Ix(t)I, t dans IR}
est de Banach et que l'espace CB s'injecte continuement et strictement dans CB'.
2.Soit f une application lipschitzienne de E dans E,c-à-d,:
Il existe k > 0 tel que If(x)-f(y)I<= kIx-yI sur ExE.
Considérons le problème de Cauchy:
x'=f(x) (1) x(0)=x_{0} appartient à E (2).
Pour x dans CB' et t dans IR,soit l'application:
Tx(t)=x_{0}+ Intégrale (0 à t)f(x(s))ds.
i)Montrer que CB' est stable par T.
ii)On prend c>k.Montrer que T est strictement contractante de CB' dans CB'.
En déduire que le problème de Cauchy (1)-(2) admet une
solution unique dans CB'.
