Parmi les géneralisations intérssantes du principe de
contraction de Banach, on cite le résultat suivant
( Krasnoselskii et les auteurs)
Theoreme
Soit (E,d) un espace metrique complet.Soit T une
contraction generalizee de E dans E ,c-à-d,
pour tout a,b dans IR^{+}-{0],il existe une constante
0< k= k(a,b)<1 telle que:
d(Tx,Ty)<= k d(x,y) , a<=d(x,y)<=b
Alors,T admet un point fixe unique z ,et pour tout x dans
E,la suite {T^{n}x} converge vers z.
Deux demostrations sont proposees.L'une est constructive
similaire à la demonstration originelle du principe de
contraction de Banach(voir [ Krasnoselskii-Burd-Kolesov]
.
L'autre est basee sur un raisonnement par l'absurde et le
principe des ensembles emboites.(Theoreme de Cantor)
(Voir Krasnoselskii-Zabreiko] .
Comme consequence ,on retrouve les resultats suivants:
corollaire.
Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application
E dans E.Alors T admet un point fixe unique si l'une des
conditions suivantes est verifiee:
i) T est strictement contractante
Banach(1922)
ii)E est compact et d(Tx,Ty)< d(x,y) sur ExE
avec x different de y.
Edelstein(1962)
iii) Il existe une fonction f de IR^{+} dans
IR^{+} semi-continue-superieurement,f(r) < r
sur IR^{+}\{0} et telle que
d(Tx,Ty)<= f(d(x,y))) sur ExE.
Boyd-Wong(1969)
iv) Il existe une fonction f de IR^{+} dans
IR^{+} croissante,continue à droite, f(r)< r
sur IR^{+}\{0} et telle que
d(Tx,Ty)<=f(d(x,y)) sur ExE.
Browder(1968)
v) Il existe une fonction f de IR^{+} dans
IR^{+} croissante,verifiant pour tout r dans
IR^{+} ,f^{n}(r)-->o,lorsque n-->l'infini
et telle que
d(Tx,Ty)<= f(d(x,y)) sur ExE.
Matkowski(1975)
Preuve:
La demonstration est facile.Pour i) c'est evident.
Demontrons par exemple ii).
Soit a,b dans IR^{+}-{0}.Puisque K est compact et
T est continue,il existe (x_{0},y_{0}) dans KxK tel que:
sup{ d(Tx,Ty)/d(x,y): a<=d(x,y)<= b}
=d(T(x_{0},Ty_{0})/d(x_{0},y_{0})<1.
Demontrons v).Soit a,b dans IR^{+} -{0} .Par recurrence ,on a:
d(T^{n}x,T^{n}y)<=f^{n}(d(x,y)) sur ExE.
Comme f^{n}(b)--> 0,lorsque n--->l'infini, on peut choisir
un n tel que f^{n}(b)< a ; il suit que, pour
0< a <=d(x,y)<= b,et en tenant compte que ,pour tout n dans
IN, f^{n} est croissante,on a:
d(T^{n}x,T^{n}y)<=f^{n}(d(x,y))
= [f^{n}(d(x,y))/d(x,y)]d(x,y)
<= f^{n}(b)/a]d(x,y)
Par le theoreme ci-dessus,T^{n} admet un point fixe unique z,
et de là,z est aussi,un point fixe unique de T.
Exercice.Démontrer directement les résultats du corollaire.
(Pour la bibliograhie ,voir message réferences 2/02/2007).
