Exercice
Soit (E,d) un espace metrique complet.B=B(y,r) est la boule ouverte
de centre y et de rayon r dans E.T est une application de B dans E
k-strictement contractante.Si d(Ty,y)<(1-k)r,montrer que T admet
un point fixe.
(Indication:chercher une boule fermee de centre y,stable par T)
Preuve:
Choisir 0< r'< r tel que d(Ty,y)\leq (1-k)r'<(1-k)r.
Montrons que la boule fermee D={x:d(x,y)\leq r'} est stable par T.
En effet,si x est dans D,alors:
d(Tx,y)\leq d(Tx,Ty)+d(Ty,y)\leq kd(x,y)+(1-k)r'\leq r'.
Comme D est complet,l'existence du point fixe de T suit du principe
de contraction de Banach.
