Rappel:
Soit (E,d) un espace métrique complet.D est un sous-ensemble
ferme de E.T est une application de D dans D.T est dite:
i) une isométrie si d(Tx,Ty)=d(x,y) sur DxD.
ii)contractante si d(Tx,Ty)<=d(x,y) sur DxD.
iii) contractive si d(Tx,Ty)< d(x,y), x different de y.
Exemples.
I.Applicaions isometriques
Applications qui n'ont pas de point fixe:
1)E=D est un espace de Banach et Tx=x+a (a dans E-{0})
2)Soit l'espace de Banach C(0)=
{x=(x(n)):lim x(n)=0,lorsque n-->l'infini})
muni de la norme habituelle:II(x(n))II=sup Ix(n)I.
B désigne la boule unitée fermée de C(0).
T est une application de B dans B définie par:
T({x(n)})=(1,x(0),x(1)...,x(n)...)
Il est évident que T est une isométrie et
le seul point fixe de T est le vecteur
(1,1,1,...,1,...)qui n'appartient pas à
C(0);mais il appartient a l(infini),l'espace
des suites bornées.
3)Exemple1-Edelstein(1964)
Exercice.
Soit l'espace de Banach C _{0}muni de la norme habituelle.
T est une application define sur C par:
Tx=y ou x={x_{n}} et y={y_{n} }avec
y_{n} =[exp(2i \pi/n !)] x_{n} -(-1)^{n}[exp(2i\pi/n !)-1]
n=1,2,…
i)Verifier que y appartient à C
ii)Montrer que T est une isometrie sur C .
iii)Pour (0)=(0,0,….),montrer que {T ^{k}(0) } est
bornee dans C et que lim T^{k!} (0)=0,
lorsque k--->l'infini .
iv)Montrer que T n'a pas de point fixe dans C .
4.Exemple2-Edelstein(1964)
Exercice.
Soit l'espace des suites l^{2} muni de la norme habituelle :
IxI=I(x_{0} ,x_{1} ,…)I=(Sigma(k=0 à l'infini)Ix_{k}I)^{1/2}
On sait que (l^{2} ,I.I) est un espace de Hilbert.
Soit T une application définie sur l^{2} par :
Tx=y ou y={y_{n} ) avec y_{n}=[exp(2i\pi/n !)] (x_{n} -1)+1
n=1,2,…
i)Montrer que l^{2} est stable par T.
ii)Montrer que T est une isométrie sur l^{2}
iii)Vérifier que :
IT^{k}(0)I^{2} =4 (Sigma (k=1 à l'infini)sin^{2} (\pi k/n !)
En déduire que IT ^{k!}(0)I---> 0,lorsque k--->l'infini ;
et si q_{k} =(1/2)Sigma(j=1 à k) (2jk)!
Alors IT^{q_{k}}(0)I--->l'infini,lorsque k--->l'infini
iii)Montrer que T n'a pas de point fixe dans l^{2}
Remarque.Les deux exemples d'Edelstein ci-dessus
montrent que le resultat,du au meme auteur(voir message 3/6/07 )
n'est pas valable si T est une isométrie.
5. Le contre-exemple de D.Alspach(important)
A la question ouverte suivante:
Soient E un espcace de Banach et K un sous-ensemble de E
non vide convexe et faiblement compact.T:K ---->K une
application contractante.T admet-elle un point fixe?
Alspach a repondu negativement par l'exemple suivant
Exercice.
Notation.I(f,[0,1])=l'integrale de f sur [0,1]
Soient I=[0,1] et E=L^{1} (I) l'espace des fonctions
integrables sur I,muni de la norme habituelle.
On considere l'ensemble:
K={f \in E : I(f,[0,1])=1 ,0<=f<= 2] }
T est une application definie sur K par :
(Tf)(t)= Min {2f(2t),2} , si 0<=t<=1/2]
(Tf)(t)=Max{2f(2t-1)-2,0}, si 1/2< t<=1]
Montrer que:
i) K est convexe et faiblement compact.
ii) K est stable par T.
iii)T est une isometrie.
iv)T n'a pas de point fixe dans K.
La demonstration n'est pas evidente.Voir,par exemple,
[Geobel-Kirk](Message References 2/02/2007)
II.Applications contractantes.
i)Applications contractantes qui admettent des points fixes:
6)E=IR et T=sin .
T est une application contractante(à vérifier)
et 0 est un point fixe unique de T.(Justifier
l'existence du point fixe, en prenant D=[-1,1].
Demontrer ensuite que ce point fixe est unique).
7)L'espace C(0) et la boule unitee fermee B, sont
définies dans l'exemple 2).
Soit T une application de B dans B définie par:
T({x(n)})=(x(0),1-Ix(0)I,x(1)...,x(n)...)
Il est evident que T est contractante(à vérifier).
Comme lim x(n)=0,et si x=Tx,alors x(1)=x(2)=...=0.
Il suit que Ix(0)I=1;et Fix(T)={e(1),-e(1)
ou e(1)=(1,0,0,...,0,...)
Fix(T) est discontinue.Remarquer que l'espace C(0),muni
de la norme habituelle,n'est pas strictement convexe.
(Voir le message de 23/2/08)
ii)Applications contractantes qui n'admettent pas de points fixes:
8)E=IR et D=[-2,-1]U[1,2].T est une application de
D dans D,definie par:
Tx=1,si x appartient à[-2,-1]
=-1,si x appartient à[1,2]
Il est evident que T est contractante et n'admet pas
un point fixe.On remarque que le domaine D est ferme,
borne et non convexe.
III)Applications contractives
Applications contracives qui n'admettent pas de points fixes:
9)E=IR,D=IR^{+}et Tx=\sqrt{x^{2}+1}
10)E=D=IR et Tx=Log(1+exp(x))
11)E=IR , D=IR^{+} et Tx=x+1/(x+1)
12)E=C([0,1],IR) est l'espace des fonctions continues
de[0,1] dans IR muni de la norme sup:
|x|=sup|x(t)|
on sait que (E,|.|) est un espace de Banach.Soit
D={x\in E: 0=x(0)<= x(t)<= x(1)=1}.Alors D est
un ensemble convexe borne et ferme(à vérifier).
Soit T une application de D dans D
définie par Tx(t)= t x(t).Il est facile de
vérifier que T est contractive ;le seul point
fixe de T est la fonction discontinue x(t)=0
pour 0<= t<1 et x(1)=1.
T n'a pas de point fixe dans D.
13)Exercice
Soit E un ensemble denombrable dont les points sont
notes a(n),n=1,2,....On munit E de la distance definie par:
d(a(p),a(p))=0 et d(a(p),a(q))=1+(1/p)+(1/q)
si p est different de q.
i)Verifier que d est une distance sur E et que (E,d)
est complet.
ii)Soit T l'application de E dans E definie par
T(a(p))=a(p+1).
Montrer que T est contractive et Fix(T) est vide.
14)Exercice.
Soit B la boule unite ferme de l'espace des suites C(0)
(voir l'exemple 2).T est une applicaction de C(0) dans
C(0)telle que T(e(n))=(1-2^{-(n+1)}e(n+1),n>=0,où {e(n)}
est la base canonique de C(0).Soit
U(x)=1/2(1+IIxII)e(0)+T(x).
Montrer que U est contractive de B dans B et Fix(U) est vide.
IV)Applications strictement contractantes.
15)Exercice.
Montrer que la fonction cos est strictement
contractante de [-1,1] dans [-1,1].Calculer
le point fixe.
16)Soit la fonction Tx=x/2 de ]0,1] dans ]0,1].Il
est evident que T est strictement contractante
mais elle n'a pas de point fixe;le domaine n'est pas
ferme.
v)Applications du type compact(ou alpha-compact).
17)soit la fonction x(t)=t^{2} de [0,1] dans [0,1].
Fix(x)={0,1}
18)soit la fonction x(t)=t ItI de [-1,1] dans [-1,1].
Fix(x)={-1,0,1}
19)Soit (E,I.I) un espace de Banach.B designe la
boule unite fermee.
T est une application de B dans B definie par:
T(x)=xIxI.
Fix(T)={0}U {x: IxI=1}.
Remarque.
Le theoreme de Brouwer explique l'existence
des points fixes dans les exemples 15) et 16);par contre,
le meme theoreme explique l'existence des points fixes,
dans l'exemple 17),lorsque E est de dimension finie.
On constate que,dans ces exemples,l'unicite du point fixe
n'est pas assuree.
20.Soient IR^(n) l'espace euclidien et S
la sphere(={x dans IR^(n):IxI=1}).Soit l'application T
de S dans S definie par Tx=-x;alors le point fixe possible
de T est 0 n'appartenant pas à S.
(S est non convexe).
