Introduction.
Soit (E,d) un espace métrique complet.Pbf(E) désigne
toutes les parties bornées et fermées de E.K(E) désigne toutes
les parties compactes de E.On définit sur Pbf(E) la distance
de Hausdorff:
Pour A,B dans Pbf(E),D(A,B)=max( d'(B,A),d'(A,B))
ou d'(B,A)=sup {d(x,A),x dans B} et d'(A,B)=sup {d(x,B),x dans A};
d(x,A)(Resp.d(x,B))dénote la distance de x à A(Resp. B)
On démontre que (Pbf(E),D) et (K(E),D) sont des espaces
métriques complets.
Exercice.
(E,d) désigne un espace métrique complet.Soit un système de
fonctions itérées(ou ISF) sur E,c-à-d,un ensemble
d'applications{f_{i}}(1<=i<=n),telle que chaque f_{i} est
une application k_{i}-strictement contractante de E dans E.
On définit une application F sur K(E) par:
F(A)=U f_{i}(A).
1<=i<=n
i)Vérifier que K(E) est stable par F.
ii)Démontrer que F est k-strictement contractante,ou
k=max(k_{i},i=1,2,...n), de (K(E),D) dans (K(E),D)
En déduire qu'il existe un C unique dans K(E)(appelé Attracteur de l'ISF)
tel que :
C= U f_{i}(C).
1<=i<=n
C est un fractal.
iii)Montrer que pour tout x dans C,F^{p}x converge vers C dans(K(E),D).
iv)Exemples.
a) dans la droite réelle.
Soient f_{1} et f_{2} deux applications de IR dans IR définies par:
f_{1}(x)=(1/3)x et f_{2}(x)=(1/3)x+2/3.
On prend comme valeur initiale C_{0}=[0,1];vérifier que
le point fixe de F,par les itérations F^{n}( C_{0}),est
l'ensemble de Cantor.
b) dans le plan.
Rediger l'exemple précédent dans le plan,et dessiner
les trois premières itérations C_{0},C_{1} et C_{2}.
