Comparaison entre les theoremes du point fixe de Banach et Kannan

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(Le texte qui suit, a ete poste le 4/06/06,supprime par erreur, le 10/09/06)


Theoreme1(Banach 1922)

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application de

E dans E strictement contractante ,c-a-d,;

Il exists k dans (0,1) tel que : d(Tx,Ty)<= k d(x,y) sur ExE (1)

Alors:

i) T admet un point fixe unique z.

ii) pour tout x dans E, la suite d'iterations {T^{n}x} converge vers

z et on a l'estimation:

d(z,T^{n}x)<=(k^{n}/1-k) d(z,Tz)

Il existe plusieurs demonstrations de ce theoreme important.

(voir Goebel-Kirk(1990)).Dans la demonstration originelle de Banach,

on dégage la propriété suivante:

Lemme1

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application de E

dans E verifiant la stricte contraction faible,c-à-d,:

(2)Il exists k dsans (0,1) tel que: d(Tx,T^{2}x)<=k d(x,Tx), sur E (2)

Alors,pour tout x dans E,la suite d'iterations {T^{n}x} converge dans E.

La demonstration de ce lemme est contenue dans la demonstration

originelle de Banach.Par consequent,si T est continue

(ou plus generalement ferme ou à graphe ferme) verifiant

la stricte contraction faible,on a toutes les conclusions

du theoreme1,sauf l'unicité.D'autre part,Kannan[4] a propose

le resultat suivant:

Theoreme2

Soit(E,d) un espace metrique complet. T est une application

de E dans E verifiant:

Il exists k dans (0,1/2) tel que:

d(Tx,Ty)<= k d(x,Tx)+k d(y,Ty) sur ExE (3)

Alors, T admet un point fixe unique z ,et pour tout x dans E,

la suite d'iterations {T^{n}x} converge vers Z

Preuve:

Si y=Tx dans (3),on constate que T verifie (2)(la stricte contraction

faible) ,avec K=k/1-k.De là,pour x quelconque dans E,la suite{T^{n}x}

converge vers z dans E.D'autre part:

d(z,Tz)<=d(z,T^{n+1}x)+d(T^{n+1}x,Tz)

<= d(z,T^{n+1}x)+k d(T^{n}x,T^{n+1}x)+k d(z,Tz)

ce qui entraine que:

d(z,Tz)<=(1/1-k)[d(z,T^{n+1}x)+k d(T^{n}x,T^{n+1}x)]

Le second membre de l'inegalite ci-dessus tend vers 0,Lorsque

n tend vers l'infini,ce qui entraine que d(z,Tz)=0,et Tz=z.

D'autre part,si T admet deux points fixes z,z';alors:

d(z,z')=d(Tz,Tz')<= k[d(z,Tz)+d(z',Tz')]=0 et z=z'.

Pour une autre version de demonstration du theoreme2 ,

voir Deimling(1984).L'exemple suivant montre que T n'est

pas necessairement continue:

Soient E=[0,1],Tx=x/4 sur [0,1]-{1/n} et Tx=x/8 sur {1/n}( n entier >0)

La verification des hypotheses du theoreme2 est facile

(k=1/3,0 est le seul point fixe de T.)

En conclusion,le theoreme1 etle theoreme2 sont differents,

le seul point commun est le lemme1 qui est implicite dans (1) et(3).

(Voir message references 2/2/2007 pour les auteurs cités)

Une synthese simple entre les theoreme du point fixe de Banach et Kannan

Le resultat suivant propose une synthese simple entre les theoremes du point fixe dus a Banach et Kannan.(voir un exemple d'une synthese assez laborieuse proposee par
Anderson,D.E.-Singh,K.L.-Withfield,J.H.M.M.Message references 2/02/2007)

Theoreme
Soit (E,d) un espace metrique compet.T est une application (non necessairement continue)de E dans E et telle que :
Il existe un k dans (0,1) tel que d(Tx,Ty)<=kmax(d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty)) sur ExE (*)
Alors, T admet un point fixe unique.


Il est evident que le resultat ci-dessus englobe les theoremes du point fixe de Banach et Kannan.La demonstration ci-dessous ,basee sur les techniques standards de la demonstration originelle de Banach, montre que la demarche de Kannan apporte le fait que le theoreme de Banach est valable sans la continuite de T.

Preuve:

En posant y=Tx dans la contraction (*),on obtient:

d(Tx,T^{2}x)<= k max(d(x,Tx),d(Tx,T^{2}x)

S'il existe un x dans E tel que d(x,Tx)<= d(Tx,T^{2}x),

alors ,d'apres l'inegalite ci-dessus, d(Tx,T^{2}x)=0;et Tx est un point fixe.L'unicite de point fixe est evidente par la contraction(*) (à verifier).Sinon,on a :

d(Tx,T^{2}x)<= k d(x,Tx) sur E

c-à-d ,T verifie la sticte contraction faible.On sait que ,pour tout x dans E ,la suite {T^{n}x}converge vers z dans E.on a :

d(z,Tz)<=d(z,T^{n}x)+d(T^{n}x,T^{n+1}x)+d(T^{n+1}x,Tz)

les deux premies termes à droite de l'inégalite ci-dessus,tendent vers 0.lorsque n tend vers l'infini.Pour le troisieme terme,on a,par (*);

d(T^{n+1}x,Tz)<= k max(d(T^{n}x,z),d(T^{n}x,T^{n+1}x),d(z,Tz))

qui est inferiur à k d(z,Tz),pour n assez grand.Ceci entraine que d(z,Tz)=0.L'unicite du point fixe z est evidente par (*).

Question.

Peut-on avoir(ou existe-t-il)une synthese entre les theoremes de Banach et Kannan ,sans intervenir le terme d(x,y) dans la contraction(*)?