On peut citer deux réponses,bien connues,
sur la minimisation des fonctions convexes:
La première. On rappelle la formulation suivante
( peut-etre plus pratique):
Theoreme.
Soit (E,I.I) un espace de Banach reflexif.
A est un sous-ensemble non vide, convexe et ferme de E ;
f:A ----]-\infty,\infty ]est une fonction
convexe,semi-continue--inferieuremet, non-
-identitiquement egal à \infty et telle que:
lim f(x)=\infty
IxI--> \infty
Alors f admet un minimum sur A.
Comme exemple simple f(x)=Ix-aI.(a dans E)
Pour la demonstration de ce resultat,voir
H.Brezis(References 2/2/2007).
La deuxieme.Le resultat suivant generalise un
resulat bien connu, dans la droite
reelle:
Theoreme.
Soit E un espace de Banach quelconque.f est une application convexe
de E dans IR.On suppose qu'il existe un z dans E tel que
d_{+}f(z)=0.
(d_{+}f(z).x=lim [f(z+hx)-f(z)]/h ,
h -->0^{+}
avec z,x dans E et h dans IR)
Alors , f admet un minimum en z.
pour des informations sur d_{+}f(z),
voir R.H.Martin(References 2/2/2007).
Ensuite,on montre aisément l'inégalite:
f(x)>= f(z)+d_{+}f(z).(x-z)
Enfin,remarquons que, si f est strictement convexe,alors,f admet un
minimum unique.
