.
(Le texte qui suit, a ete poste le 4/06/06,supprime par erreur, le 10/09/06)
Theoreme1(Banach 1922)
Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application de
E dans E strictement contractante ,c-a-d,;
Il exists k dans (0,1) tel que : d(Tx,Ty)<= k d(x,y) sur ExE (1)
Alors:
i) T admet un point fixe unique z.
ii) pour tout x dans E, la suite d'iterations {T^{n}x} converge vers
z et on a l'estimation:
d(z,T^{n}x)<=(k^{n}/1-k) d(z,Tz)
Il existe plusieurs demonstrations de ce theoreme important.
(voir Goebel-Kirk(1990)).Dans la demonstration originelle de Banach,
on dégage la propriété suivante:
Lemme1
Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application de E
dans E verifiant la stricte contraction faible,c-à-d,:
(2)Il exists k dsans (0,1) tel que: d(Tx,T^{2}x)<=k d(x,Tx), sur E (2)
Alors,pour tout x dans E,la suite d'iterations {T^{n}x} converge dans E.
La demonstration de ce lemme est contenue dans la demonstration
originelle de Banach.Par consequent,si T est continue
(ou plus generalement ferme ou à graphe ferme) verifiant
la stricte contraction faible,on a toutes les conclusions
du theoreme1,sauf l'unicité.D'autre part,Kannan[4] a propose
le resultat suivant:
Theoreme2
Soit(E,d) un espace metrique complet. T est une application
de E dans E verifiant:
Il exists k dans (0,1/2) tel que:
d(Tx,Ty)<= k d(x,Tx)+k d(y,Ty) sur ExE (3)
Alors, T admet un point fixe unique z ,et pour tout x dans E,
la suite d'iterations {T^{n}x} converge vers Z
Preuve:
Si y=Tx dans (3),on constate que T verifie (2)(la stricte contraction
faible) ,avec K=k/1-k.De là,pour x quelconque dans E,la suite{T^{n}x}
converge vers z dans E.D'autre part:
d(z,Tz)<=d(z,T^{n+1}x)+d(T^{n+1}x,Tz)
<= d(z,T^{n+1}x)+k d(T^{n}x,T^{n+1}x)+k d(z,Tz)
ce qui entraine que:
d(z,Tz)<=(1/1-k)[d(z,T^{n+1}x)+k d(T^{n}x,T^{n+1}x)]
Le second membre de l'inegalite ci-dessus tend vers 0,Lorsque
n tend vers l'infini,ce qui entraine que d(z,Tz)=0,et Tz=z.
D'autre part,si T admet deux points fixes z,z';alors:
d(z,z')=d(Tz,Tz')<= k[d(z,Tz)+d(z',Tz')]=0 et z=z'.
Pour une autre version de demonstration du theoreme2 ,
voir Deimling(1984).L'exemple suivant montre que T n'est
pas necessairement continue:
Soient E=[0,1],Tx=x/4 sur [0,1]-{1/n} et Tx=x/8 sur {1/n}( n entier >0)
La verification des hypotheses du theoreme2 est facile
(k=1/3,0 est le seul point fixe de T.)
En conclusion,le theoreme1 etle theoreme2 sont differents,
le seul point commun est le lemme1 qui est implicite dans (1) et(3).
(Voir message references 2/2/2007 pour les auteurs cités)
