L'exercice suivant montre que le principe de
contraction de Banach, sur la droite réelle ,est
une conséquence du théorème du point fixe de Brouwer
au niveau de l'existence d'un point fixe et non l'unicité.
Exercice.
i)Soit T une application continue de [a,b] dans [a,b];
[a,b] désigne un intervalle ferme borne dans IR.
Démontrer que T admet un point fixe.Montrer ,par
un exemple,que le point fixe n'est pas nécessairement unique.
(Théoreme du point fixe de Brouwer dans IR)
ii)Soit T une application strictement contractante de IR
dans IR.Démontrer,a l'aide de i),que T admet un point fixe
unique.
(Indication:Montrer que pour tout x(0),il existe un r>0 tel
que l'intervalle [x(0)-r,x(0)+r] est stable par T )
Remarque.L'exercice précédent est étendu ,sans difficultés,
aux espaces de Banach de dimension finie ou infinie,
en utilisant le théorème du point fixe de Brouwer ou le
théorème du point fixe de Darbo.
Bienvenue. Ce site(blog)est consacré à des notes (remarques,exercices,commentaires,...) sur les differents chapitres de l'analyse fonctionnelle nonlineare;en particulier,les théories du point fixe et les équations différentielles.
25 novembre 2007
11 novembre 2007
Geometrie de fractal et le theoreme du point fixe de Banach
Introduction.
Soit (E,d) un espace métrique complet.Pbf(E) désigne
toutes les parties bornées et fermées de E.K(E) désigne toutes
les parties compactes de E.On définit sur Pbf(E) la distance
de Hausdorff:
Pour A,B dans Pbf(E),D(A,B)=max( d'(B,A),d'(A,B))
ou d'(B,A)=sup {d(x,A),x dans B} et d'(A,B)=sup {d(x,B),x dans A};
d(x,A)(Resp.d(x,B))dénote la distance de x à A(Resp. B)
On démontre que (Pbf(E),D) et (K(E),D) sont des espaces
métriques complets.
Exercice.
(E,d) désigne un espace métrique complet.Soit un système de
fonctions itérées(ou ISF) sur E,c-à-d,un ensemble
d'applications{f_{i}}(1<=i<=n),telle que chaque f_{i} est
une application k_{i}-strictement contractante de E dans E.
On définit une application F sur K(E) par:
F(A)=U f_{i}(A).
1<=i<=n
i)Vérifier que K(E) est stable par F.
ii)Démontrer que F est k-strictement contractante,ou
k=max(k_{i},i=1,2,...n), de (K(E),D) dans (K(E),D)
En déduire qu'il existe un C unique dans K(E)(appelé Attracteur de l'ISF)
tel que :
C= U f_{i}(C).
1<=i<=n
C est un fractal.
iii)Montrer que pour tout x dans C,F^{p}x converge vers C dans(K(E),D).
iv)Exemples.
a) dans la droite réelle.
Soient f_{1} et f_{2} deux applications de IR dans IR définies par:
f_{1}(x)=(1/3)x et f_{2}(x)=(1/3)x+2/3.
On prend comme valeur initiale C_{0}=[0,1];vérifier que
le point fixe de F,par les itérations F^{n}( C_{0}),est
l'ensemble de Cantor.
b) dans le plan.
Rediger l'exemple précédent dans le plan,et dessiner
les trois premières itérations C_{0},C_{1} et C_{2}.
Soit (E,d) un espace métrique complet.Pbf(E) désigne
toutes les parties bornées et fermées de E.K(E) désigne toutes
les parties compactes de E.On définit sur Pbf(E) la distance
de Hausdorff:
Pour A,B dans Pbf(E),D(A,B)=max( d'(B,A),d'(A,B))
ou d'(B,A)=sup {d(x,A),x dans B} et d'(A,B)=sup {d(x,B),x dans A};
d(x,A)(Resp.d(x,B))dénote la distance de x à A(Resp. B)
On démontre que (Pbf(E),D) et (K(E),D) sont des espaces
métriques complets.
Exercice.
(E,d) désigne un espace métrique complet.Soit un système de
fonctions itérées(ou ISF) sur E,c-à-d,un ensemble
d'applications{f_{i}}(1<=i<=n),telle que chaque f_{i} est
une application k_{i}-strictement contractante de E dans E.
On définit une application F sur K(E) par:
F(A)=U f_{i}(A).
1<=i<=n
i)Vérifier que K(E) est stable par F.
ii)Démontrer que F est k-strictement contractante,ou
k=max(k_{i},i=1,2,...n), de (K(E),D) dans (K(E),D)
En déduire qu'il existe un C unique dans K(E)(appelé Attracteur de l'ISF)
tel que :
C= U f_{i}(C).
1<=i<=n
C est un fractal.
iii)Montrer que pour tout x dans C,F^{p}x converge vers C dans(K(E),D).
iv)Exemples.
a) dans la droite réelle.
Soient f_{1} et f_{2} deux applications de IR dans IR définies par:
f_{1}(x)=(1/3)x et f_{2}(x)=(1/3)x+2/3.
On prend comme valeur initiale C_{0}=[0,1];vérifier que
le point fixe de F,par les itérations F^{n}( C_{0}),est
l'ensemble de Cantor.
b) dans le plan.
Rediger l'exemple précédent dans le plan,et dessiner
les trois premières itérations C_{0},C_{1} et C_{2}.
07 novembre 2007
Solution globale(sur IR) des équations différéntielles du type Lipschitz.
Exercice.
1.Question préliminaire.
Soit (E,I.I) un espace de Banach;CB=C(IR,E) désigne
l'espace des fonctions continues et bornées sur IR et
à valeurs dans E.On sait que CB,muni de la norme
IIxII=sup{Ix(t)I,t dans IR},
est de Banach.Soit c > 0 et considérons l'espace:
CB'=C'(IR,E)
={x:IR--->E ,continue et sup(exp(-cItI)Ix(t)I ,t dans IR) est fini}
oû ItI dénote la valeur absolue de t
Démontrer que CB' ,muni de la norme:
IIIxIII= sup{exp(-cItI)Ix(t)I, t dans IR}
est de Banach et que l'espace CB s'injecte continuement et strictement dans CB'.
2.Soit f une application lipschitzienne de E dans E,c-à-d,:
Il existe k > 0 tel que If(x)-f(y)I<= kIx-yI sur ExE.
Considérons le problème de Cauchy:
x'=f(x) (1) x(0)=x_{0} appartient à E (2).
Pour x dans CB' et t dans IR,soit l'application:
Tx(t)=x_{0}+ Intégrale (0 à t)f(x(s))ds.
i)Montrer que CB' est stable par T.
ii)On prend c>k.Montrer que T est strictement contractante de CB' dans CB'.
En déduire que le problème de Cauchy (1)-(2) admet une
solution unique dans CB'.
1.Question préliminaire.
Soit (E,I.I) un espace de Banach;CB=C(IR,E) désigne
l'espace des fonctions continues et bornées sur IR et
à valeurs dans E.On sait que CB,muni de la norme
IIxII=sup{Ix(t)I,t dans IR},
est de Banach.Soit c > 0 et considérons l'espace:
CB'=C'(IR,E)
={x:IR--->E ,continue et sup(exp(-cItI)Ix(t)I ,t dans IR) est fini}
oû ItI dénote la valeur absolue de t
Démontrer que CB' ,muni de la norme:
IIIxIII= sup{exp(-cItI)Ix(t)I, t dans IR}
est de Banach et que l'espace CB s'injecte continuement et strictement dans CB'.
2.Soit f une application lipschitzienne de E dans E,c-à-d,:
Il existe k > 0 tel que If(x)-f(y)I<= kIx-yI sur ExE.
Considérons le problème de Cauchy:
x'=f(x) (1) x(0)=x_{0} appartient à E (2).
Pour x dans CB' et t dans IR,soit l'application:
Tx(t)=x_{0}+ Intégrale (0 à t)f(x(s))ds.
i)Montrer que CB' est stable par T.
ii)On prend c>k.Montrer que T est strictement contractante de CB' dans CB'.
En déduire que le problème de Cauchy (1)-(2) admet une
solution unique dans CB'.
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