Geometrie de fractal et le theoreme du point fixe de Banach

Introduction.

Soit (E,d) un espace métrique complet.Pbf(E) désigne


toutes les parties bornées et fermées de E.K(E) désigne toutes

les parties compactes de E.On définit sur Pbf(E) la distance

de Hausdorff:

Pour A,B dans Pbf(E),D(A,B)=max( d'(B,A),d'(A,B))

ou d'(B,A)=sup {d(x,A),x dans B} et d'(A,B)=sup {d(x,B),x dans A};

d(x,A)(Resp.d(x,B))dénote la distance de x à A(Resp. B)

On démontre que (Pbf(E),D) et (K(E),D) sont des espaces

métriques complets.

Exercice.

(E,d) désigne un espace métrique complet.Soit un système de

fonctions itérées(ou ISF) sur E,c-à-d,un ensemble

d'applications{f_{i}}(1<=i<=n),telle que chaque f_{i} est

une application k_{i}-strictement contractante de E dans E.


On définit une application F sur K(E) par:

F(A)=U f_{i}(A).
1<=i<=n

i)Vérifier que K(E) est stable par F.

ii)Démontrer que F est k-strictement contractante,ou

k=max(k_{i},i=1,2,...n), de (K(E),D) dans (K(E),D)

En déduire qu'il existe un C unique dans K(E)(appelé Attracteur de l'ISF)

tel que :

C= U f_{i}(C).
1<=i<=n

C est un fractal.

iii)Montrer que pour tout x dans C,F^{p}x converge vers C dans(K(E),D).

iv)Exemples.

a) dans la droite réelle.

Soient f_{1} et f_{2} deux applications de IR dans IR définies par:

f_{1}(x)=(1/3)x et f_{2}(x)=(1/3)x+2/3.

On prend comme valeur initiale C_{0}=[0,1];vérifier que

le point fixe de F,par les itérations F^{n}( C_{0}),est

l'ensemble de Cantor.

b) dans le plan.

Rediger l'exemple précédent dans le plan,et dessiner

les trois premières itérations C_{0},C_{1} et C_{2}.