Le resultat suivant propose une synthese simple entre les theoremes du point fixe dus a Banach et Kannan.(voir un exemple d'une synthese assez laborieuse proposee par
Anderson,D.E.-Singh,K.L.-Withfield,J.H.M.M.Message references 2/02/2007)
Theoreme
Soit (E,d) un espace metrique compet.T est une application (non necessairement continue)de E dans E et telle que :
Il existe un k dans (0,1) tel que d(Tx,Ty)<=kmax(d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty)) sur ExE (*)
Alors, T admet un point fixe unique.
Il est evident que le resultat ci-dessus englobe les theoremes du point fixe de Banach et Kannan.La demonstration ci-dessous ,basee sur les techniques standards de la demonstration originelle de Banach, montre que la demarche de Kannan apporte le fait que le theoreme de Banach est valable sans la continuite de T.
Preuve:
En posant y=Tx dans la contraction (*),on obtient:
d(Tx,T^{2}x)<= k max(d(x,Tx),d(Tx,T^{2}x)
S'il existe un x dans E tel que d(x,Tx)<= d(Tx,T^{2}x),
alors ,d'apres l'inegalite ci-dessus, d(Tx,T^{2}x)=0;et Tx est un point fixe.L'unicite de point fixe est evidente par la contraction(*) (à verifier).Sinon,on a :
d(Tx,T^{2}x)<= k d(x,Tx) sur E
c-à-d ,T verifie la sticte contraction faible.On sait que ,pour tout x dans E ,la suite {T^{n}x}converge vers z dans E.on a :
d(z,Tz)<=d(z,T^{n}x)+d(T^{n}x,T^{n+1}x)+d(T^{n+1}x,Tz)
les deux premies termes à droite de l'inégalite ci-dessus,tendent vers 0.lorsque n tend vers l'infini.Pour le troisieme terme,on a,par (*);
d(T^{n+1}x,Tz)<= k max(d(T^{n}x,z),d(T^{n}x,T^{n+1}x),d(z,Tz))
qui est inferiur à k d(z,Tz),pour n assez grand.Ceci entraine que d(z,Tz)=0.L'unicite du point fixe z est evidente par (*).
Question.
Peut-on avoir(ou existe-t-il)une synthese entre les theoremes de Banach et Kannan ,sans intervenir le terme d(x,y) dans la contraction(*)?
