Point fixe des applications contractantes

1)Exercice.

Soit (E,d) un espace métriqe compact.

T est une application continue

(ou plus generalement fermée ou à graphe fermé)

de E dans E

i)Montrer par un exemple que T n'a pas

necessairement un point fixe.

(voir un exemple dans le message de 18/12/07)

ii)Démontrer que T admet un point fixe si

T admet une suite de points

fixes approches,c-à-d,il existe une suite

{x_{n}}dans E telle que d(x_{n},Tx_{n})

tend vers 0,lorsque n tend vers l'infini

2.Exercice

A.Soit (E,|.|) un espace de Banach.D est un

sous-ensemble de E , non-vide, convexe, borne

et ferme.T est une application contractante

de D dans D.

i)Montrer,par un exemple, que T n'a pas nécessairement

un point fixe.

(voir un exemple dans le message de 18/12/07)

ii)Démontrer que T admet des points fixes approches.

B.Soit [H,(.,.),I.I] un espace de Hilbert.

D est un sous-ensemble de H,non-vide, convexe, borne

et ferme.T est une application contractante de D dans D.

{u(n)} désigne une suite de points fixes approches de T.

u est la limite faible d'une sous-suite de {u(n)}

Justifier l'existence de u.

iii)Soit v un élément quelconque de H et P est l'opérateur

de projection sur D.Justifier l'existence de P.

On admet que P est une application contractante

de H dans D.

Montrer que:

(u(n)-v-Tu(n)+TP(v),v-u(n))<=0,

quel que soit v dans H.

En deduire que:

(TP(v)-v,v-u)<=0,

quel que soit v dans H.

iv)Considérons un élément quelconque w dans H

et définissons v par:

v=u+tw avec t>0

Montrer que (TP(u)-u,w)<=0.

En déduire que u est un point fixe de T.

v) Montrer que Fix(T)={u dans D:Tu=u}

est un ensemble convexe,borne et ferme.

Remarque.Le théorème du point fixe présenté

dans l'exercice2 ci-dessus,est du a Browder.

On démontre aussi que ce résultat est valable

dans les espaces de Banach uniformément

convexe(Browder et Gohde)et plus généralement

dans les espaces de Banach réflexif à

structure normale(Kirk).Ces quatres articles

ont éte publiés, d'une manière indépendante,

au cours de la meme année 1965;

c'était le point de départ des recherches

importantes,quantitatves et qualitatives,

sur les Applications contractantes et la

théorie du point fixe.Soulignons que la demarche

de Kirk a suscite plus d'interet dans ces recherches.

Pour un apercu sur ces travaux,on peut

consulter,par exemple,les lectures de

Kirk(1981),Goebel-Kirk(1990) et Kirk(1996).

Le dernier papier est consacré aux problèmes

ouverts.

Enfin ,notons que la demonstration du theoreme

de Browder et Browder- Gohde,dans les espaces

de Hilbert et les espaces uniformement convexes ,

est presentee d'une maniere assez

simple avec la notion du centre asymptotique.


(voir le message de 18/12/07 pour des exemples sur

ce sujet.voir le message-références de 2/2/07 pour

les articles cites ci-dessus)

Une version du theoreme du point fixe de Banach du type integral

8.Notation On désignera par IN(f,0,a) l'intégrale de f sur

l'intervalle [0,a] dans IR.

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application

de E dans E verifiant :

Il existe k dans (0,1[ telle que :

IN(f,0,d(Tx,Ty))<=k IN(f,0,d(x,y)) , sur ExE

ou f est une fonction de IR^{+} dans IR^{+},localement sommable et pour tout \epsilon >0 ,

IN(f,0,\epsilon)>0.

Demontrer que T admet un point fixe unique z;et pour

tout x dans E, la suite {T^{n}x} converge vers z.

Comparer ce resultat avec le theoreme du point fixe de

Banach.

(D'après Branciari.Voir message references)