I. L'application classique du théoreme du point fixe de Banach
la plus connue est la démonstration du théoreme d'existence et
d'unicite des solutions des équations intégrales
(ou differentielles)du type Lipschitz:
Soit (E ,I.I) un espace de Banach réel. C désigne l'éspace des
fonctions continues définies sur [0,T]à valeurs dans E.
On sait que l'espace C,muni de la norme sup,est de Banach.
On definit une nouvelle norme sur C par:
IIfII=max{exp(-Lt)If(t)I;0<= t\<= T} (1)
Exercice.Montrer que II.II est une norme equivalente
a la norme sup.
Theoreme1
Soit K une application continue de [0,T]x[0,T)xE
dans E qui satisfait la condition de Lipschitz:
Il existe k >0 : IK(t,s,x)-K(t,s,y)I<= kIx-yI
pour tout (t,s) dans [0,T]x[0,T],et x,y dans E.
Alors pour chaque f dans C l'équation intégrale
de Volterra:
x(t)=f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s)ds (0<=t<= T) (2)
possède une solution unique x dans C.De plus
la suite{x_{n}} d'itérations définie par :
x_{0} dans C et x_{n+1}(t)=f(t)+
\int_{0}^{t}K(t,s,x_{n})ds
converge uniformement sur [0,T] vers la solution
unique x.
Preuve:
On definit une application S sur C par :
S(x)(t)= f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s))ds;
Il est evident que C est stable par S(SC\subset C)
(à justifier)
Montrons que S est strictement contractante de C
dans C;en effet,
pour x,y dans C,on a
IS(x)(t)-S(y)(t)I
<=\int_{0}^{t} IK(t,s,x(s)-K(t,s,y(s)I ds
<= k \int_{0}^{t} Ix(s)-y(s)I ds
=k \int_{0}^{t} exp (Ls) exp(-Ls)Ix(s)-y(s)I ds
<= kIIx-yII \int_{0}^{t} exp(Ls) ds
=(k/L)IIx-yII (exp(Lt)-1)
En multipliant l'inégalité par exp(-Lt) ,on trouve:
exp(-Lt)IS(x)(t)-S(y)(t)I<=(k/L)IIx-yII (1-exp(-Lt))
En passant au maximum sur [0,T],on a:
IIS(x)-S(y)II<=(k/L)1-exp(-LT))IIx-yII
On prend L >=k,donc (1-exp(-LT))<1,
Par conséquent S est strictement contractante et
de là, elle admet un point fixe unique dans C.
La convergence de la suite {x_{n}} dans C,suit du
principe de contraction de Banach.
Corollaire.
Soit (E,I.I) un espace de Banach;[0,T] est intervalle
dans IR.f est une application continue de [0,T]xE
dans E telle que:
Il existe k >0 tel que : If(t,x)-f(t,y)I <= kIx-yI
pour tout (t,x,y) dans [0,T]xExE
Alors le problème de Cauchy:
x'=f(t,x) (1) x_{0}=z appartenant à E (2)
possède une solution unique définie sur [0,T]
Preuve:
Soit K(t,s,u)=f(s,u) et f(t)=z dans (2),l'équation
de Volterra devient:
x(t)=z+\int_{0}^{t}f(s,x(s))ds
La solution de cette équation intégrale est
précisément la solution du problème de Cauchy (1)-(2).
