Synthese entre les theoreme du point fixe de Banach et Kannan(version modulaire)

Le resultat suivant propose une version modulaire d'une

synthese entre les theoremes du point fixe de Banach et

Kannan(voir message 10/9/06).

Theoreme.

Soit E_{rho} un espace modulaire complet,ou le mdulaire

rho verifie la condition delta2. D est un sous-ensemble

rho-ferme de E_{rho}.T est une application (non

necessairement rho-continue) de D dans D verifiant:

Il existe deux constantes :c>1 et k dans (0,1) telles que

rho(c(Tx-Ty))<= k max(rho(x-y),rho(x-Tx),rho(y-Ty)) sur DxD (*)

Alors, T admet un point fixe.

Minimisation des fonctions convexes.

On peut citer deux réponses,bien connues,

sur la minimisation des fonctions convexes:

La première. On rappelle la formulation suivante

( peut-etre plus pratique):

Theoreme.

Soit (E,I.I) un espace de Banach reflexif.

A est un sous-ensemble non vide, convexe et ferme de E ;

f:A ----]-\infty,\infty ]est une fonction

convexe,semi-continue--inferieuremet, non-

-identitiquement egal à \infty et telle que:

lim f(x)=\infty
IxI--> \infty

Alors f admet un minimum sur A.

Comme exemple simple f(x)=Ix-aI.(a dans E)

Pour la demonstration de ce resultat,voir

H.Brezis(References 2/2/2007).

La deuxieme.Le resultat suivant generalise un

resulat bien connu, dans la droite

reelle:

Theoreme.

Soit E un espace de Banach quelconque.f est une application convexe

de E dans IR.On suppose qu'il existe un z dans E tel que

d_{+}f(z)=0.

(d_{+}f(z).x=lim [f(z+hx)-f(z)]/h ,
h -->0^{+}

avec z,x dans E et h dans IR)


Alors , f admet un minimum en z.

pour des informations sur d_{+}f(z),

voir R.H.Martin(References 2/2/2007).

Ensuite,on montre aisément l'inégalite:

f(x)>= f(z)+d_{+}f(z).(x-z)

Enfin,remarquons que, si f est strictement convexe,alors,f admet un

minimum unique.