Introduction:
Rappelons le theoreme du point fixe d'Edelstein(1962)
(cadre metrique):
Theoreme.
Soit(E,d)un espace metrique complet.T est une application
contractive de E dans E.On suppose q'il existe un x dans E
tel que la suite {T^{n}x}possede une sous-suite convergente
vers z.Alors, z est un point fixe unique de T.
Le resultat suivant propose une version modulaire de ce
resultat.Cette formulation a ete introduite dans la these
d'Ait taleb(1996). voir message references.
Exercice.
Soit E(rho) un espace modulaire,ou rho verifie la propriete
de Fatou.K est un sous-ensemble rho-compact de E(rho).T est
une application de K dans K telle que :
rho(Tx-Ty)< rho(x-y) pour tout (x,y) dans KxK avec x different de y
Montrer qu'il existe un z dans K tel que inf{rho(x-Tx);x dans K}
=rho(z-Tz).En deduire que Tz=z.
Preuve:
Soit a=inf{rho(x-Tx);x dans K};alors,il existe une suite minimisante
{x(n)}dans K telle que rho(x(n)-Tx(n))--->a.K etant rho-compact,on peut
extraire de {x(n)} une sous-suite,notee encore {x(n)},rho-convergente
vers z dans K;comme T est contractive, donc,Tx(n)converge
vers Tz.La propriete de Fatou,donne:
rho(z-Tz)<=liminf rho(x(n)-Tx(n))=a.
D'autre part, a<= rho(Tz-T^{2}z)< rho(z-Tz)<=a;
ce qui entraine que a=0 et Tz=z.
