Exercice
On reprend le meme cadre du theoreme1
dans le message du 28/11/2006
Soit (E ,I.I) un espace de Banach reel.
C designe l'espace des fonctions continues
definies sur [0,T]a valeurs dans E.
l'espace C est muni par la norme
sup, notee II.II
Soit K une application continue de [0,T]x[0,T)xE
dans E qui satisfait la condition de Lipschitz:
Il existe L>0 : IK(t,s,x)-K(t,s,y)I<= LIx-yI
pour tout (t,s) dans [0,T]x[0,T],et x,y dans
E. On defini la meme application S
sur C (voir la démonstration du theoreme1) par :
S(x)(t)= f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s))ds;
. ou f est un element fixe dans C et x dans C
i)Verifier que C est stable par S.
ii)pour x,y dans C,montrer que:
II(S^{n}x)-(S^{n}y)II<= [(LT)^{n}/n!] IIx-yII
ii)En deduire que S admet un point fixe unique z dans C.
iii)Montrer que pour chaque x dans C,on a:
IIS^{n}x-zII<=R_{n}ISx-zI
ou R_{n) est une constante à determiner.
iv) Chercher les avantages de cet approche.
(Comparer avec le theoreme1 )
Preuve:
i)evident
ii)Demonstration par recurrence:
pour n=1,c'est évident.Supposons le résultat est
vrai a l'ordre n;alors:
I(S^{n+1}x)(t)-(S^{n+1}y)(t)I
<=\int_{0}^{t} IK(t,s,(S^{n}x)(s))-K(t,s,(S^{n}y)(s))I ds
<= L\int_{0}^{t} I(Sx)(s)-(Sy)(s)Ids
<= \int(L^{n+1} s^{n})/n!)Ix(s)-y(s)I ds
= (Lt)^{n+1}/(n+1)! IIx-yII
En prenant le sup sur [0,T],on obtient:
IIS^{n+1}x-S^{n+1}yII<= (LT)^{n+1}/(n+1)! IIx-yII (*)
ii)En tenant compte de l'inegalite precedente(*),appliquer
l'assertion i)ou l'assertion ii) de l'exercice du message
20/10/2007.
iii)Pour x quelconque dans C,on a:
IIS^{n}x-zII<=sigma(i=0 à l'infini)IIS^{n+i}x-S^{n+i+1}xII
<=R_{n} IIz-SxII
ou R_{n}=Sigma(i=0 à l'infini)[(LT)^{n+i}/(n+i)!]
c'est le reste du developpement en serie de exp(LT).
iv)laisse au lecteur.
(
