Principe de contraction generalisée (d'après Krasnoselskii et les auteurs).

Parmi les géneralisations intérssantes du principe de
contraction de Banach, on cite le résultat suivant
( Krasnoselskii et les auteurs)

Theoreme

Soit (E,d) un espace metrique complet.Soit T une

contraction generalizee de E dans E ,c-à-d,

pour tout a,b dans IR^{+}-{0],il existe une constante

0< k= k(a,b)<1 telle que:

d(Tx,Ty)<= k d(x,y) , a<=d(x,y)<=b

Alors,T admet un point fixe unique z ,et pour tout x dans

E,la suite {T^{n}x} converge vers z.

Deux demostrations sont proposees.L'une est constructive

similaire à la demonstration originelle du principe de

contraction de Banach(voir [ Krasnoselskii-Burd-Kolesov]
.
L'autre est basee sur un raisonnement par l'absurde et le

principe des ensembles emboites.(Theoreme de Cantor)

(Voir Krasnoselskii-Zabreiko] .


Comme consequence ,on retrouve les resultats suivants:

corollaire.

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application

E dans E.Alors T admet un point fixe unique si l'une des

conditions suivantes est verifiee:

i) T est strictement contractante

Banach(1922)

ii)E est compact et d(Tx,Ty)< d(x,y) sur ExE

avec x different de y.


Edelstein(1962)

iii) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} semi-continue-superieurement,f(r) < r

sur IR^{+}\{0} et telle que


d(Tx,Ty)<= f(d(x,y))) sur ExE.

Boyd-Wong(1969)


iv) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} croissante,continue à droite, f(r)< r

sur IR^{+}\{0} et telle que


d(Tx,Ty)<=f(d(x,y)) sur ExE.

Browder(1968)

v) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} croissante,verifiant pour tout r dans

IR^{+} ,f^{n}(r)-->o,lorsque n-->l'infini

et telle que

d(Tx,Ty)<= f(d(x,y)) sur ExE.

Matkowski(1975)

Preuve:

La demonstration est facile.Pour i) c'est evident.

Demontrons par exemple ii).

Soit a,b dans IR^{+}-{0}.Puisque K est compact et

T est continue,il existe (x_{0},y_{0}) dans KxK tel que:

sup{ d(Tx,Ty)/d(x,y): a<=d(x,y)<= b}

=d(T(x_{0},Ty_{0})/d(x_{0},y_{0})<1.

Demontrons v).Soit a,b dans IR^{+} -{0} .Par recurrence ,on a:

d(T^{n}x,T^{n}y)<=f^{n}(d(x,y)) sur ExE.

Comme f^{n}(b)--> 0,lorsque n--->l'infini, on peut choisir

un n tel que f^{n}(b)< a ; il suit que, pour

0< a <=d(x,y)<= b,et en tenant compte que ,pour tout n dans

IN, f^{n} est croissante,on a:

d(T^{n}x,T^{n}y)<=f^{n}(d(x,y))


= [f^{n}(d(x,y))/d(x,y)]d(x,y)

<= f^{n}(b)/a]d(x,y)

Par le theoreme ci-dessus,T^{n} admet un point fixe unique z,

et de là,z est aussi,un point fixe unique de T.

Exercice.Démontrer directement les résultats du corollaire.

(Pour la bibliograhie ,voir message réferences 2/02/2007).