Equations Integrales( Differentielles) du type Lipschitz et iterations de Picard.

Exercice

On reprend le meme cadre du theoreme1

dans le message du 28/11/2006

Soit (E ,I.I) un espace de Banach reel.

C designe l'espace des fonctions continues

definies sur [0,T]a valeurs dans E.

l'espace C est muni par la norme

sup, notee II.II

Soit K une application continue de [0,T]x[0,T)xE

dans E qui satisfait la condition de Lipschitz:

Il existe L>0 : IK(t,s,x)-K(t,s,y)I<= LIx-yI

pour tout (t,s) dans [0,T]x[0,T],et x,y dans

E. On defini la meme application S

sur C (voir la démonstration du theoreme1) par :

S(x)(t)= f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s))ds;

. ou f est un element fixe dans C et x dans C

i)Verifier que C est stable par S.

ii)pour x,y dans C,montrer que:

II(S^{n}x)-(S^{n}y)II<= [(LT)^{n}/n!] IIx-yII

ii)En deduire que S admet un point fixe unique z dans C.

iii)Montrer que pour chaque x dans C,on a:

IIS^{n}x-zII<=R_{n}ISx-zI

ou R_{n) est une constante à determiner.

iv) Chercher les avantages de cet approche.

(Comparer avec le theoreme1 )
Preuve:

i)evident

ii)Demonstration par recurrence:

pour n=1,c'est évident.Supposons le résultat est

vrai a l'ordre n;alors:

I(S^{n+1}x)(t)-(S^{n+1}y)(t)I

<=\int_{0}^{t} IK(t,s,(S^{n}x)(s))-K(t,s,(S^{n}y)(s))I ds

<= L\int_{0}^{t} I(Sx)(s)-(Sy)(s)Ids

<= \int(L^{n+1} s^{n})/n!)Ix(s)-y(s)I ds

= (Lt)^{n+1}/(n+1)! IIx-yII

En prenant le sup sur [0,T],on obtient:

IIS^{n+1}x-S^{n+1}yII<= (LT)^{n+1}/(n+1)! IIx-yII (*)

ii)En tenant compte de l'inegalite precedente(*),appliquer

l'assertion i)ou l'assertion ii) de l'exercice du message

20/10/2007.

iii)Pour x quelconque dans C,on a:

IIS^{n}x-zII<=sigma(i=0 à l'infini)IIS^{n+i}x-S^{n+i+1}xII

<=R_{n} IIz-SxII

ou R_{n}=Sigma(i=0 à l'infini)[(LT)^{n+i}/(n+i)!]

c'est le reste du developpement en serie de exp(LT).

iv)laisse au lecteur.




(

Le theoreme du point fixe de Banach et le domaine invariant(version modulaire)

L'exercice suivant propose une version modulaire(partielle)

du resultat ,bien connu dans les espaces de Banach,

concernant le principe de contraction et le domaine d'invariance.

(voir le message du 29/3/07)

Exercice.

Soit (E,rho) un espace modulaire complet.On suppose que

rho(x-y) est fini sur ExE. T est une application fortement

contractante de E dans E,c-à-d, il existe des constantes c et k telles que

c> 1 , k dans ]0,1[ et

rho(c(Tx-Ty))\leq k rho(x-y) sur ExE.

1) Demontrer que I-T est bijective de E sur E.

2)On suppose de plus que le modulaire

rho verifie la condition delta2.Demontrer que

T est un homeomorphisme de E sur E.

Preuve:

1) Soit l'application S de E dans E,definie par:

Sx=Tx+y,ou y est un element donné dans E.Montrons

que S admet un point fixe unique.En effet,

rho(c(Sx-Sy))=rho(c(Tx-Ty))\leq k rho(x-y)

sur ExE;alors S admet un point fixe

unique(voir Ait taleb-Hanebaly.references.Message 2/2/07))et par

consequent,I-T est inversible de E sur E.

2)Montrons que I-T est rho-continue;en effet,

soit {x(n)} une suite rho-convergente vers x.

posons y(n)=x(n)-Tx(n) et y=x-Tx;et soit c' le

conjugue de c[(1/c)+(1/c')=1]alors:

rho(y(n)-y)=rho((c'/c')(x(n)-x)+(c/c)(Tx-Tx(n))

\leq rho(c'(x(n)-x))+k rho(x(n)-x),

Par dlta2,rho(c'(x(n)-x)) tend vers 0,lorsque n

tend vers l'infini,donc,y(n) tend vers y.

Montrons que (I-T)^{-1} est continue;en effet:

soit {x(n)} une suite rho-convergente vers x.

Posons y(n)=(I-T)^{-1}x(n) et y=(I-T)^{-1}x,donc,

x(n)=y(n)-Ty(n) et x=y-Ty;dela:


rho(y(n)-y)=rho((c'/c')(x(n)-x)+(c/c)(Ty(n)-Ty)))

\leq rho (c'(x(n)-x))+k rho (y(n)-y)

ce qui entraine que:

rho (y(n)-y)\leq (1/1-k) rho(c'(x(n)-x))

Par delta2,le second membre de l'inegalite ci-dessus

tend vers 0,lorsque n tend vers l'infini et y(n) est

rho-convergente vers y,donc, (I-T)^{-1}est rho-continue.

Version modulaire du theoreme du point fixe d'Edelstein.

Introduction:

Rappelons le theoreme du point fixe d'Edelstein(1962)

(cadre metrique):

Theoreme.

Soit(E,d)un espace metrique complet.T est une application

contractive de E dans E.On suppose q'il existe un x dans E

tel que la suite {T^{n}x}possede une sous-suite convergente

vers z.Alors, z est un point fixe unique de T.


Le resultat suivant propose une version modulaire de ce

resultat.Cette formulation a ete introduite dans la these

d'Ait taleb(1996). voir message references.

Exercice.

Soit E(rho) un espace modulaire,ou rho verifie la propriete

de Fatou.K est un sous-ensemble rho-compact de E(rho).T est

une application de K dans K telle que :

rho(Tx-Ty)< rho(x-y) pour tout (x,y) dans KxK avec x different de y

Montrer qu'il existe un z dans K tel que inf{rho(x-Tx);x dans K}


=rho(z-Tz).En deduire que Tz=z.

Preuve:

Soit a=inf{rho(x-Tx);x dans K};alors,il existe une suite minimisante

{x(n)}dans K telle que rho(x(n)-Tx(n))--->a.K etant rho-compact,on peut

extraire de {x(n)} une sous-suite,notee encore {x(n)},rho-convergente

vers z dans K;comme T est contractive, donc,Tx(n)converge

vers Tz.La propriete de Fatou,donne:

rho(z-Tz)<=liminf rho(x(n)-Tx(n))=a.

D'autre part, a<= rho(Tz-T^{2}z)< rho(z-Tz)<=a;

ce qui entraine que a=0 et Tz=z.

Synthese entre les theoreme du point fixe de Banach et Kannan(version modulaire)

Le resultat suivant propose une version modulaire d'une

synthese entre les theoremes du point fixe de Banach et

Kannan(voir message 10/9/06).

Theoreme.

Soit E_{rho} un espace modulaire complet,ou le mdulaire

rho verifie la condition delta2. D est un sous-ensemble

rho-ferme de E_{rho}.T est une application (non

necessairement rho-continue) de D dans D verifiant:

Il existe deux constantes :c>1 et k dans (0,1) telles que

rho(c(Tx-Ty))<= k max(rho(x-y),rho(x-Tx),rho(y-Ty)) sur DxD (*)

Alors, T admet un point fixe.

Minimisation des fonctions convexes.

On peut citer deux réponses,bien connues,

sur la minimisation des fonctions convexes:

La première. On rappelle la formulation suivante

( peut-etre plus pratique):

Theoreme.

Soit (E,I.I) un espace de Banach reflexif.

A est un sous-ensemble non vide, convexe et ferme de E ;

f:A ----]-\infty,\infty ]est une fonction

convexe,semi-continue--inferieuremet, non-

-identitiquement egal à \infty et telle que:

lim f(x)=\infty
IxI--> \infty

Alors f admet un minimum sur A.

Comme exemple simple f(x)=Ix-aI.(a dans E)

Pour la demonstration de ce resultat,voir

H.Brezis(References 2/2/2007).

La deuxieme.Le resultat suivant generalise un

resulat bien connu, dans la droite

reelle:

Theoreme.

Soit E un espace de Banach quelconque.f est une application convexe

de E dans IR.On suppose qu'il existe un z dans E tel que

d_{+}f(z)=0.

(d_{+}f(z).x=lim [f(z+hx)-f(z)]/h ,
h -->0^{+}

avec z,x dans E et h dans IR)


Alors , f admet un minimum en z.

pour des informations sur d_{+}f(z),

voir R.H.Martin(References 2/2/2007).

Ensuite,on montre aisément l'inégalite:

f(x)>= f(z)+d_{+}f(z).(x-z)

Enfin,remarquons que, si f est strictement convexe,alors,f admet un

minimum unique.

Bornage et périodicité des solutions des équations differentielles(d'après Massera)

L'exercice,ci-dessous, présente le premier résultat

dans le fameux article de Massera(1950) ,qui met en

relief,le lien entre l'existence des solutions bornées

et l'existence des solutions périodiques.

Exercice.

On considère l'équation différentielle scalaire suivante:

x'=f(t,x) (*)

ou f est une fonction continue de IR^{+}xIR dans IR,et

p-périodique par rapport a t(p>0).

(c-à-d,pour x dans IR,f(t+p,x)=f(t,x)

pour tout t dans IR^{+}).

On suppose que l'équation(*),verifie les conditions de

l'unicite des solutions par rapport aux conditions

initales.

Soit y une solution de l'équation(*),bornée sur IR^{+}.

i)Montrer que si y(0)=y(p),alors y est p-périodique.

ii)Supposons que y(0)est différent de y(p),par exemple

y(0)< y(p).Montrer que,pour tout t dans [0,p], la suite

{y_{n}(t)=y(t+pn)},est strictement croissante dans IR.

iii)Dans l'espace des fonctions continues ,C([0,p],IR),

muni de la norme sup, démontrer que la suite {y_{n}}

est uniformément convergente vers une solution

p-périodique de l'équation(*).

(Utiliser le théorème d'Ascoli et le théorème de Dini)

Formulation modulaire de la version locale paramétrée du theoreme du point fixe de Banach.

Dans les espaces modulaires,le résultat suivant, propose une

généralisation de la version locale paramétrée du principe

de contraction dans les espaces de Banach:

Execice(texte provisoire).

Soient X un ensemble quelconque et (E,rho)un espace modulaire

complet,où le modulaire rho vérifie la propriéte de Fatou

Soit la boule B=B(z,r)={x:rho(x-z) < r}.

T est une application deXxB dans E vérifiant:

Il existe deux constantes ,k dans]0,1[ et p>1, telles que:

rho(p(T(x,y)-T(x,y'))) <= k rho(y-y')

pour tout x dans X et tout (y,y') dans BxB.

On suppose que, pour tout x dans X, rho(q(T(x,z)-z))< r(1-k), où q est

le conjugué de p,c-à-d ,(1/p)+(1/q)=1

Démontrer qu'il existe une application unique f de X dans B telle que :

f(x)= T(x,f(x)) sur X. On suppose de plus que X est un espace modulaire

quelconque (ou espace topologique vérifiant le premier axiome de

dénombrabilité), T est continue par rapport à son premier argument

et rho vérifie la condition delta2.

Démontrer que f est continue sur X.