Le theoreme du point fixe de Banach et le domaine invariant(version modulaire)

L'exercice suivant propose une version modulaire(partielle)

du resultat ,bien connu dans les espaces de Banach,

concernant le principe de contraction et le domaine d'invariance.

(voir le message du 29/3/07)

Exercice.

Soit (E,rho) un espace modulaire complet.On suppose que

rho(x-y) est fini sur ExE. T est une application fortement

contractante de E dans E,c-à-d, il existe des constantes c et k telles que

c> 1 , k dans ]0,1[ et

rho(c(Tx-Ty))\leq k rho(x-y) sur ExE.

1) Demontrer que I-T est bijective de E sur E.

2)On suppose de plus que le modulaire

rho verifie la condition delta2.Demontrer que

T est un homeomorphisme de E sur E.

Preuve:

1) Soit l'application S de E dans E,definie par:

Sx=Tx+y,ou y est un element donné dans E.Montrons

que S admet un point fixe unique.En effet,

rho(c(Sx-Sy))=rho(c(Tx-Ty))\leq k rho(x-y)

sur ExE;alors S admet un point fixe

unique(voir Ait taleb-Hanebaly.references.Message 2/2/07))et par

consequent,I-T est inversible de E sur E.

2)Montrons que I-T est rho-continue;en effet,

soit {x(n)} une suite rho-convergente vers x.

posons y(n)=x(n)-Tx(n) et y=x-Tx;et soit c' le

conjugue de c[(1/c)+(1/c')=1]alors:

rho(y(n)-y)=rho((c'/c')(x(n)-x)+(c/c)(Tx-Tx(n))

\leq rho(c'(x(n)-x))+k rho(x(n)-x),

Par dlta2,rho(c'(x(n)-x)) tend vers 0,lorsque n

tend vers l'infini,donc,y(n) tend vers y.

Montrons que (I-T)^{-1} est continue;en effet:

soit {x(n)} une suite rho-convergente vers x.

Posons y(n)=(I-T)^{-1}x(n) et y=(I-T)^{-1}x,donc,

x(n)=y(n)-Ty(n) et x=y-Ty;dela:


rho(y(n)-y)=rho((c'/c')(x(n)-x)+(c/c)(Ty(n)-Ty)))

\leq rho (c'(x(n)-x))+k rho (y(n)-y)

ce qui entraine que:

rho (y(n)-y)\leq (1/1-k) rho(c'(x(n)-x))

Par delta2,le second membre de l'inegalite ci-dessus

tend vers 0,lorsque n tend vers l'infini et y(n) est

rho-convergente vers y,donc, (I-T)^{-1}est rho-continue.