Bornage et périodicité des solutions des équations differentielles(d'après Massera)

L'exercice,ci-dessous, présente le premier résultat

dans le fameux article de Massera(1950) ,qui met en

relief,le lien entre l'existence des solutions bornées

et l'existence des solutions périodiques.

Exercice.

On considère l'équation différentielle scalaire suivante:

x'=f(t,x) (*)

ou f est une fonction continue de IR^{+}xIR dans IR,et

p-périodique par rapport a t(p>0).

(c-à-d,pour x dans IR,f(t+p,x)=f(t,x)

pour tout t dans IR^{+}).

On suppose que l'équation(*),verifie les conditions de

l'unicite des solutions par rapport aux conditions

initales.

Soit y une solution de l'équation(*),bornée sur IR^{+}.

i)Montrer que si y(0)=y(p),alors y est p-périodique.

ii)Supposons que y(0)est différent de y(p),par exemple

y(0)< y(p).Montrer que,pour tout t dans [0,p], la suite

{y_{n}(t)=y(t+pn)},est strictement croissante dans IR.

iii)Dans l'espace des fonctions continues ,C([0,p],IR),

muni de la norme sup, démontrer que la suite {y_{n}}

est uniformément convergente vers une solution

p-périodique de l'équation(*).

(Utiliser le théorème d'Ascoli et le théorème de Dini)