Minimisation des fonctions convexes.

On peut citer deux réponses,bien connues,

sur la minimisation des fonctions convexes:

La première. On rappelle la formulation suivante

( peut-etre plus pratique):

Theoreme.

Soit (E,I.I) un espace de Banach reflexif.

A est un sous-ensemble non vide, convexe et ferme de E ;

f:A ----]-\infty,\infty ]est une fonction

convexe,semi-continue--inferieuremet, non-

-identitiquement egal à \infty et telle que:

lim f(x)=\infty
IxI--> \infty

Alors f admet un minimum sur A.

Comme exemple simple f(x)=Ix-aI.(a dans E)

Pour la demonstration de ce resultat,voir

H.Brezis(References 2/2/2007).

La deuxieme.Le resultat suivant generalise un

resulat bien connu, dans la droite

reelle:

Theoreme.

Soit E un espace de Banach quelconque.f est une application convexe

de E dans IR.On suppose qu'il existe un z dans E tel que

d_{+}f(z)=0.

(d_{+}f(z).x=lim [f(z+hx)-f(z)]/h ,
h -->0^{+}

avec z,x dans E et h dans IR)


Alors , f admet un minimum en z.

pour des informations sur d_{+}f(z),

voir R.H.Martin(References 2/2/2007).

Ensuite,on montre aisément l'inégalite:

f(x)>= f(z)+d_{+}f(z).(x-z)

Enfin,remarquons que, si f est strictement convexe,alors,f admet un

minimum unique.