Exemples dans la theorie du point fixe.

Rappel:

Soit (E,d) un espace métrique complet.D est un sous-ensemble

ferme de E.T est une application de D dans D.T est dite:

i) une isométrie si d(Tx,Ty)=d(x,y) sur DxD.


ii)contractante si d(Tx,Ty)<=d(x,y) sur DxD.

iii) contractive si d(Tx,Ty)< d(x,y), x different de y.


Exemples.

I.Applicaions isometriques

Applications qui n'ont pas de point fixe:

1)E=D est un espace de Banach et Tx=x+a (a dans E-{0})

2)Soit l'espace de Banach C(0)=

{x=(x(n)):lim x(n)=0,lorsque n-->l'infini})

muni de la norme habituelle:II(x(n))II=sup Ix(n)I.

B désigne la boule unitée fermée de C(0).

T est une application de B dans B définie par:

T({x(n)})=(1,x(0),x(1)...,x(n)...)

Il est évident que T est une isométrie et

le seul point fixe de T est le vecteur

(1,1,1,...,1,...)qui n'appartient pas à

C(0);mais il appartient a l(infini),l'espace

des suites bornées.

3)Exemple1-Edelstein(1964)

Exercice.

Soit l'espace de Banach C _{0}muni de la norme habituelle.

T est une application define sur C par:

Tx=y ou x={x_{n}} et y={y_{n} }avec

y_{n} =[exp(2i \pi/n !)] x_{n} -(-1)^{n}[exp(2i\pi/n !)-1]

n=1,2,…

i)Verifier que y appartient à C

ii)Montrer que T est une isometrie sur C .

iii)Pour (0)=(0,0,….),montrer que {T ^{k}(0) } est

bornee dans C et que lim T^{k!} (0)=0,

lorsque k--->l'infini .

iv)Montrer que T n'a pas de point fixe dans C .

4.Exemple2-Edelstein(1964)

Exercice.

Soit l'espace des suites l^{2} muni de la norme habituelle :

IxI=I(x_{0} ,x_{1} ,…)I=(Sigma(k=0 à l'infini)Ix_{k}I)^{1/2}

On sait que (l^{2} ,I.I) est un espace de Hilbert.

Soit T une application définie sur l^{2} par :

Tx=y ou y={y_{n} ) avec y_{n}=[exp(2i\pi/n !)] (x_{n} -1)+1

n=1,2,…

i)Montrer que l^{2} est stable par T.

ii)Montrer que T est une isométrie sur l^{2}

iii)Vérifier que :

IT^{k}(0)I^{2} =4 (Sigma (k=1 à l'infini)sin^{2} (\pi k/n !)

En déduire que IT ^{k!}(0)I---> 0,lorsque k--->l'infini ;

et si q_{k} =(1/2)Sigma(j=1 à k) (2jk)!

Alors IT^{q_{k}}(0)I--->l'infini,lorsque k--->l'infini

iii)Montrer que T n'a pas de point fixe dans l^{2}

Remarque.Les deux exemples d'Edelstein ci-dessus

montrent que le resultat,du au meme auteur(voir message 3/6/07 )

n'est pas valable si T est une isométrie.

5. Le contre-exemple de D.Alspach(important)

A la question ouverte suivante:

Soient E un espcace de Banach et K un sous-ensemble de E

non vide convexe et faiblement compact.T:K ---->K une

application contractante.T admet-elle un point fixe?

Alspach a repondu negativement par l'exemple suivant


Exercice.

Notation.I(f,[0,1])=l'integrale de f sur [0,1]

Soient I=[0,1] et E=L^{1} (I) l'espace des fonctions

integrables sur I,muni de la norme habituelle.

On considere l'ensemble:

K={f \in E : I(f,[0,1])=1 ,0<=f<= 2] }

T est une application definie sur K par :


(Tf)(t)= Min {2f(2t),2} , si 0<=t<=1/2]

(Tf)(t)=Max{2f(2t-1)-2,0}, si 1/2< t<=1]

Montrer que:

i) K est convexe et faiblement compact.

ii) K est stable par T.

iii)T est une isometrie.

iv)T n'a pas de point fixe dans K.

La demonstration n'est pas evidente.Voir,par exemple,
[Geobel-Kirk](Message References 2/02/2007)






II.Applications contractantes.

i)Applications contractantes qui admettent des points fixes:

6)E=IR et T=sin .

T est une application contractante(à vérifier)

et 0 est un point fixe unique de T.(Justifier

l'existence du point fixe, en prenant D=[-1,1].

Demontrer ensuite que ce point fixe est unique).

7)L'espace C(0) et la boule unitee fermee B, sont

définies dans l'exemple 2).

Soit T une application de B dans B définie par:

T({x(n)})=(x(0),1-Ix(0)I,x(1)...,x(n)...)

Il est evident que T est contractante(à vérifier).

Comme lim x(n)=0,et si x=Tx,alors x(1)=x(2)=...=0.

Il suit que Ix(0)I=1;et Fix(T)={e(1),-e(1)

ou e(1)=(1,0,0,...,0,...)

Fix(T) est discontinue.Remarquer que l'espace C(0),muni

de la norme habituelle,n'est pas strictement convexe.

(Voir le message de 23/2/08)

ii)Applications contractantes qui n'admettent pas de points fixes:

8)E=IR et D=[-2,-1]U[1,2].T est une application de

D dans D,definie par:

Tx=1,si x appartient à[-2,-1]

=-1,si x appartient à[1,2]

Il est evident que T est contractante et n'admet pas

un point fixe.On remarque que le domaine D est ferme,

borne et non convexe.

III)Applications contractives

Applications contracives qui n'admettent pas de points fixes:

9)E=IR,D=IR^{+}et Tx=\sqrt{x^{2}+1}

10)E=D=IR et Tx=Log(1+exp(x))

11)E=IR , D=IR^{+} et Tx=x+1/(x+1)

12)E=C([0,1],IR) est l'espace des fonctions continues

de[0,1] dans IR muni de la norme sup:

|x|=sup|x(t)|

on sait que (E,|.|) est un espace de Banach.Soit

D={x\in E: 0=x(0)<= x(t)<= x(1)=1}.Alors D est

un ensemble convexe borne et ferme(à vérifier).

Soit T une application de D dans D

définie par Tx(t)= t x(t).Il est facile de

vérifier que T est contractive ;le seul point

fixe de T est la fonction discontinue x(t)=0

pour 0<= t<1 et x(1)=1.

T n'a pas de point fixe dans D.

13)Exercice

Soit E un ensemble denombrable dont les points sont

notes a(n),n=1,2,....On munit E de la distance definie par:

d(a(p),a(p))=0 et d(a(p),a(q))=1+(1/p)+(1/q)

si p est different de q.

i)Verifier que d est une distance sur E et que (E,d)

est complet.

ii)Soit T l'application de E dans E definie par

T(a(p))=a(p+1).

Montrer que T est contractive et Fix(T) est vide.

14)Exercice.

Soit B la boule unite ferme de l'espace des suites C(0)

(voir l'exemple 2).T est une applicaction de C(0) dans

C(0)telle que T(e(n))=(1-2^{-(n+1)}e(n+1),n>=0,où {e(n)}

est la base canonique de C(0).Soit

U(x)=1/2(1+IIxII)e(0)+T(x).

Montrer que U est contractive de B dans B et Fix(U) est vide.

IV)Applications strictement contractantes.

15)Exercice.

Montrer que la fonction cos est strictement

contractante de [-1,1] dans [-1,1].Calculer

le point fixe.

16)Soit la fonction Tx=x/2 de ]0,1] dans ]0,1].Il

est evident que T est strictement contractante

mais elle n'a pas de point fixe;le domaine n'est pas

ferme.

v)Applications du type compact(ou alpha-compact).

17)soit la fonction x(t)=t^{2} de [0,1] dans [0,1].

Fix(x)={0,1}

18)soit la fonction x(t)=t ItI de [-1,1] dans [-1,1].

Fix(x)={-1,0,1}

19)Soit (E,I.I) un espace de Banach.B designe la

boule unite fermee.

T est une application de B dans B definie par:

T(x)=xIxI.

Fix(T)={0}U {x: IxI=1}.


Remarque.

Le theoreme de Brouwer explique l'existence

des points fixes dans les exemples 15) et 16);par contre,

le meme theoreme explique l'existence des points fixes,

dans l'exemple 17),lorsque E est de dimension finie.

On constate que,dans ces exemples,l'unicite du point fixe

n'est pas assuree.

20.Soient IR^(n) l'espace euclidien et S

la sphere(={x dans IR^(n):IxI=1}).Soit l'application T

de S dans S definie par Tx=-x;alors le point fixe possible

de T est 0 n'appartenant pas à S.

(S est non convexe).

Comparaison entre les theoremes du point fixe de Brouwer et Banach dans la droite reelle

L'exercice suivant montre que le principe de

contraction de Banach, sur la droite réelle ,est

une conséquence du théorème du point fixe de Brouwer

au niveau de l'existence d'un point fixe et non l'unicité.

Exercice.

i)Soit T une application continue de [a,b] dans [a,b];

[a,b] désigne un intervalle ferme borne dans IR.

Démontrer que T admet un point fixe.Montrer ,par

un exemple,que le point fixe n'est pas nécessairement unique.

(Théoreme du point fixe de Brouwer dans IR)

ii)Soit T une application strictement contractante de IR

dans IR.Démontrer,a l'aide de i),que T admet un point fixe

unique.

(Indication:Montrer que pour tout x(0),il existe un r>0 tel

que l'intervalle [x(0)-r,x(0)+r] est stable par T )

Remarque.L'exercice précédent est étendu ,sans difficultés,

aux espaces de Banach de dimension finie ou infinie,

en utilisant le théorème du point fixe de Brouwer ou le

théorème du point fixe de Darbo.

Geometrie de fractal et le theoreme du point fixe de Banach

Introduction.

Soit (E,d) un espace métrique complet.Pbf(E) désigne


toutes les parties bornées et fermées de E.K(E) désigne toutes

les parties compactes de E.On définit sur Pbf(E) la distance

de Hausdorff:

Pour A,B dans Pbf(E),D(A,B)=max( d'(B,A),d'(A,B))

ou d'(B,A)=sup {d(x,A),x dans B} et d'(A,B)=sup {d(x,B),x dans A};

d(x,A)(Resp.d(x,B))dénote la distance de x à A(Resp. B)

On démontre que (Pbf(E),D) et (K(E),D) sont des espaces

métriques complets.

Exercice.

(E,d) désigne un espace métrique complet.Soit un système de

fonctions itérées(ou ISF) sur E,c-à-d,un ensemble

d'applications{f_{i}}(1<=i<=n),telle que chaque f_{i} est

une application k_{i}-strictement contractante de E dans E.


On définit une application F sur K(E) par:

F(A)=U f_{i}(A).
1<=i<=n

i)Vérifier que K(E) est stable par F.

ii)Démontrer que F est k-strictement contractante,ou

k=max(k_{i},i=1,2,...n), de (K(E),D) dans (K(E),D)

En déduire qu'il existe un C unique dans K(E)(appelé Attracteur de l'ISF)

tel que :

C= U f_{i}(C).
1<=i<=n

C est un fractal.

iii)Montrer que pour tout x dans C,F^{p}x converge vers C dans(K(E),D).

iv)Exemples.

a) dans la droite réelle.

Soient f_{1} et f_{2} deux applications de IR dans IR définies par:

f_{1}(x)=(1/3)x et f_{2}(x)=(1/3)x+2/3.

On prend comme valeur initiale C_{0}=[0,1];vérifier que

le point fixe de F,par les itérations F^{n}( C_{0}),est

l'ensemble de Cantor.

b) dans le plan.

Rediger l'exemple précédent dans le plan,et dessiner

les trois premières itérations C_{0},C_{1} et C_{2}.

Solution globale(sur IR) des équations différéntielles du type Lipschitz.

Exercice.

1.Question préliminaire.

Soit (E,I.I) un espace de Banach;CB=C(IR,E) désigne

l'espace des fonctions continues et bornées sur IR et

à valeurs dans E.On sait que CB,muni de la norme

IIxII=sup{Ix(t)I,t dans IR},

est de Banach.Soit c > 0 et considérons l'espace:

CB'=C'(IR,E)

={x:IR--->E ,continue et sup(exp(-cItI)Ix(t)I ,t dans IR) est fini}

oû ItI dénote la valeur absolue de t

Démontrer que CB' ,muni de la norme:

IIIxIII= sup{exp(-cItI)Ix(t)I, t dans IR}

est de Banach et que l'espace CB s'injecte continuement et strictement dans CB'.

2.Soit f une application lipschitzienne de E dans E,c-à-d,:

Il existe k > 0 tel que If(x)-f(y)I<= kIx-yI sur ExE.

Considérons le problème de Cauchy:

x'=f(x) (1) x(0)=x_{0} appartient à E (2).

Pour x dans CB' et t dans IR,soit l'application:

Tx(t)=x_{0}+ Intégrale (0 à t)f(x(s))ds.

i)Montrer que CB' est stable par T.

ii)On prend c>k.Montrer que T est strictement contractante de CB' dans CB'.

En déduire que le problème de Cauchy (1)-(2) admet une

solution unique dans CB'.

Equations Integrales( Differentielles) du type Lipschitz et iterations de Picard.

Exercice

On reprend le meme cadre du theoreme1

dans le message du 28/11/2006

Soit (E ,I.I) un espace de Banach reel.

C designe l'espace des fonctions continues

definies sur [0,T]a valeurs dans E.

l'espace C est muni par la norme

sup, notee II.II

Soit K une application continue de [0,T]x[0,T)xE

dans E qui satisfait la condition de Lipschitz:

Il existe L>0 : IK(t,s,x)-K(t,s,y)I<= LIx-yI

pour tout (t,s) dans [0,T]x[0,T],et x,y dans

E. On defini la meme application S

sur C (voir la démonstration du theoreme1) par :

S(x)(t)= f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s))ds;

. ou f est un element fixe dans C et x dans C

i)Verifier que C est stable par S.

ii)pour x,y dans C,montrer que:

II(S^{n}x)-(S^{n}y)II<= [(LT)^{n}/n!] IIx-yII

ii)En deduire que S admet un point fixe unique z dans C.

iii)Montrer que pour chaque x dans C,on a:

IIS^{n}x-zII<=R_{n}ISx-zI

ou R_{n) est une constante à determiner.

iv) Chercher les avantages de cet approche.

(Comparer avec le theoreme1 )
Preuve:

i)evident

ii)Demonstration par recurrence:

pour n=1,c'est évident.Supposons le résultat est

vrai a l'ordre n;alors:

I(S^{n+1}x)(t)-(S^{n+1}y)(t)I

<=\int_{0}^{t} IK(t,s,(S^{n}x)(s))-K(t,s,(S^{n}y)(s))I ds

<= L\int_{0}^{t} I(Sx)(s)-(Sy)(s)Ids

<= \int(L^{n+1} s^{n})/n!)Ix(s)-y(s)I ds

= (Lt)^{n+1}/(n+1)! IIx-yII

En prenant le sup sur [0,T],on obtient:

IIS^{n+1}x-S^{n+1}yII<= (LT)^{n+1}/(n+1)! IIx-yII (*)

ii)En tenant compte de l'inegalite precedente(*),appliquer

l'assertion i)ou l'assertion ii) de l'exercice du message

20/10/2007.

iii)Pour x quelconque dans C,on a:

IIS^{n}x-zII<=sigma(i=0 à l'infini)IIS^{n+i}x-S^{n+i+1}xII

<=R_{n} IIz-SxII

ou R_{n}=Sigma(i=0 à l'infini)[(LT)^{n+i}/(n+i)!]

c'est le reste du developpement en serie de exp(LT).

iv)laisse au lecteur.




(

Le theoreme du point fixe de Banach et le domaine invariant(version modulaire)

L'exercice suivant propose une version modulaire(partielle)

du resultat ,bien connu dans les espaces de Banach,

concernant le principe de contraction et le domaine d'invariance.

(voir le message du 29/3/07)

Exercice.

Soit (E,rho) un espace modulaire complet.On suppose que

rho(x-y) est fini sur ExE. T est une application fortement

contractante de E dans E,c-à-d, il existe des constantes c et k telles que

c> 1 , k dans ]0,1[ et

rho(c(Tx-Ty))\leq k rho(x-y) sur ExE.

1) Demontrer que I-T est bijective de E sur E.

2)On suppose de plus que le modulaire

rho verifie la condition delta2.Demontrer que

T est un homeomorphisme de E sur E.

Preuve:

1) Soit l'application S de E dans E,definie par:

Sx=Tx+y,ou y est un element donné dans E.Montrons

que S admet un point fixe unique.En effet,

rho(c(Sx-Sy))=rho(c(Tx-Ty))\leq k rho(x-y)

sur ExE;alors S admet un point fixe

unique(voir Ait taleb-Hanebaly.references.Message 2/2/07))et par

consequent,I-T est inversible de E sur E.

2)Montrons que I-T est rho-continue;en effet,

soit {x(n)} une suite rho-convergente vers x.

posons y(n)=x(n)-Tx(n) et y=x-Tx;et soit c' le

conjugue de c[(1/c)+(1/c')=1]alors:

rho(y(n)-y)=rho((c'/c')(x(n)-x)+(c/c)(Tx-Tx(n))

\leq rho(c'(x(n)-x))+k rho(x(n)-x),

Par dlta2,rho(c'(x(n)-x)) tend vers 0,lorsque n

tend vers l'infini,donc,y(n) tend vers y.

Montrons que (I-T)^{-1} est continue;en effet:

soit {x(n)} une suite rho-convergente vers x.

Posons y(n)=(I-T)^{-1}x(n) et y=(I-T)^{-1}x,donc,

x(n)=y(n)-Ty(n) et x=y-Ty;dela:


rho(y(n)-y)=rho((c'/c')(x(n)-x)+(c/c)(Ty(n)-Ty)))

\leq rho (c'(x(n)-x))+k rho (y(n)-y)

ce qui entraine que:

rho (y(n)-y)\leq (1/1-k) rho(c'(x(n)-x))

Par delta2,le second membre de l'inegalite ci-dessus

tend vers 0,lorsque n tend vers l'infini et y(n) est

rho-convergente vers y,donc, (I-T)^{-1}est rho-continue.

Version modulaire du theoreme du point fixe d'Edelstein.

Introduction:

Rappelons le theoreme du point fixe d'Edelstein(1962)

(cadre metrique):

Theoreme.

Soit(E,d)un espace metrique complet.T est une application

contractive de E dans E.On suppose q'il existe un x dans E

tel que la suite {T^{n}x}possede une sous-suite convergente

vers z.Alors, z est un point fixe unique de T.


Le resultat suivant propose une version modulaire de ce

resultat.Cette formulation a ete introduite dans la these

d'Ait taleb(1996). voir message references.

Exercice.

Soit E(rho) un espace modulaire,ou rho verifie la propriete

de Fatou.K est un sous-ensemble rho-compact de E(rho).T est

une application de K dans K telle que :

rho(Tx-Ty)< rho(x-y) pour tout (x,y) dans KxK avec x different de y

Montrer qu'il existe un z dans K tel que inf{rho(x-Tx);x dans K}


=rho(z-Tz).En deduire que Tz=z.

Preuve:

Soit a=inf{rho(x-Tx);x dans K};alors,il existe une suite minimisante

{x(n)}dans K telle que rho(x(n)-Tx(n))--->a.K etant rho-compact,on peut

extraire de {x(n)} une sous-suite,notee encore {x(n)},rho-convergente

vers z dans K;comme T est contractive, donc,Tx(n)converge

vers Tz.La propriete de Fatou,donne:

rho(z-Tz)<=liminf rho(x(n)-Tx(n))=a.

D'autre part, a<= rho(Tz-T^{2}z)< rho(z-Tz)<=a;

ce qui entraine que a=0 et Tz=z.