L'exercice suivant montre que le principe de
contraction de Banach, sur la droite réelle ,est
une conséquence du théorème du point fixe de Brouwer
au niveau de l'existence d'un point fixe et non l'unicité.
Exercice.
i)Soit T une application continue de [a,b] dans [a,b];
[a,b] désigne un intervalle ferme borne dans IR.
Démontrer que T admet un point fixe.Montrer ,par
un exemple,que le point fixe n'est pas nécessairement unique.
(Théoreme du point fixe de Brouwer dans IR)
ii)Soit T une application strictement contractante de IR
dans IR.Démontrer,a l'aide de i),que T admet un point fixe
unique.
(Indication:Montrer que pour tout x(0),il existe un r>0 tel
que l'intervalle [x(0)-r,x(0)+r] est stable par T )
Remarque.L'exercice précédent est étendu ,sans difficultés,
aux espaces de Banach de dimension finie ou infinie,
en utilisant le théorème du point fixe de Brouwer ou le
théorème du point fixe de Darbo.
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