version locale du theoreme du point fixe de Banach(version modulaire)

Dans les espaces modulaires,le resultat suivant, propose

une généralisation de la version locale du principe de

contraction dans les espaces de Banach.

Execice

Soit (E,rho) un espace modulaire complet, ou le modulaire rho

vérifie la propriéte de Fatou.

Soit la boule B=B(y,r)={x: rho(x-y) est strictement inférieur à r}.

T est une application de B dans E fortement contractante, c-à-d,

il existe deux constantes p,k,avec k dans ]0,1[et p>1

telles que:

rho(p(Tx-Ty))\leq k rho(x-y) sur ExE

On suppose que rho(q(Ty-y)< (1-k) r,ou q est le conjugué de p,

c-à-d,(1/p)+(1/q)=1.Démontrer que T admet un point fixe.

Preuve:

On suit les memes démarches du cas métrique.

Soit r' dans ]0,r[ tel que rho(q(Ty-y)) \leq(1-k)r'<(1-k) r.

Considérons la boule D={x:rho(x-y)\leq r'}.Montrons que D est stable par T;

en effet, pour x dans D,on a:

rho(Tx-y)=rho((p/p)(Tx-Ty)+(q/q)(Ty-y ))

\leq rho(p(Tx-Ty))+rho (q(Ty-y))

\leq kr'+(1-k)r'=r'

Comme rho vérifie la propriéte de Fatou,D est rho- férmé (à vérifier).Par le

théorème2.1 dans[Hanebaly(2005)], T admet un point fixe.