1)Exercice.
Soit (E,d) un espace métriqe compact.
T est une application continue
(ou plus generalement fermée ou à graphe fermé)
de E dans E
i)Montrer par un exemple que T n'a pas
necessairement un point fixe.
(voir un exemple dans le message de 18/12/07)
ii)Démontrer que T admet un point fixe si
T admet une suite de points
fixes approches,c-à-d,il existe une suite
{x_{n}}dans E telle que d(x_{n},Tx_{n})
tend vers 0,lorsque n tend vers l'infini
2.Exercice
A.Soit (E,|.|) un espace de Banach.D est un
sous-ensemble de E , non-vide, convexe, borne
et ferme.T est une application contractante
de D dans D.
i)Montrer,par un exemple, que T n'a pas nécessairement
un point fixe.
(voir un exemple dans le message de 18/12/07)
ii)Démontrer que T admet des points fixes approches.
B.Soit [H,(.,.),I.I] un espace de Hilbert.
D est un sous-ensemble de H,non-vide, convexe, borne
et ferme.T est une application contractante de D dans D.
{u(n)} désigne une suite de points fixes approches de T.
u est la limite faible d'une sous-suite de {u(n)}
Justifier l'existence de u.
iii)Soit v un élément quelconque de H et P est l'opérateur
de projection sur D.Justifier l'existence de P.
On admet que P est une application contractante
de H dans D.
Montrer que:
(u(n)-v-Tu(n)+TP(v),v-u(n))<=0,
quel que soit v dans H.
En deduire que:
(TP(v)-v,v-u)<=0,
quel que soit v dans H.
iv)Considérons un élément quelconque w dans H
et définissons v par:
v=u+tw avec t>0
Montrer que (TP(u)-u,w)<=0.
En déduire que u est un point fixe de T.
v) Montrer que Fix(T)={u dans D:Tu=u}
est un ensemble convexe,borne et ferme.
Remarque.Le théorème du point fixe présenté
dans l'exercice2 ci-dessus,est du a Browder.
On démontre aussi que ce résultat est valable
dans les espaces de Banach uniformément
convexe(Browder et Gohde)et plus généralement
dans les espaces de Banach réflexif à
structure normale(Kirk).Ces quatres articles
ont éte publiés, d'une manière indépendante,
au cours de la meme année 1965;
c'était le point de départ des recherches
importantes,quantitatves et qualitatives,
sur les Applications contractantes et la
théorie du point fixe.Soulignons que la demarche
de Kirk a suscite plus d'interet dans ces recherches.
Pour un apercu sur ces travaux,on peut
consulter,par exemple,les lectures de
Kirk(1981),Goebel-Kirk(1990) et Kirk(1996).
Le dernier papier est consacré aux problèmes
ouverts.
Enfin ,notons que la demonstration du theoreme
de Browder et Browder- Gohde,dans les espaces
de Hilbert et les espaces uniformement convexes ,
est presentee d'une maniere assez
simple avec la notion du centre asymptotique.
(voir le message de 18/12/07 pour des exemples sur
ce sujet.voir le message-références de 2/2/07 pour
les articles cites ci-dessus)
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