Solutions des equations differentielles du type Lipschitz

I. L'application classique du théoreme du point fixe de Banach

la plus connue est la démonstration du théoreme d'existence et

d'unicite des solutions des équations intégrales

(ou differentielles)du type Lipschitz:

Soit (E ,I.I) un espace de Banach réel. C désigne l'éspace des

fonctions continues définies sur [0,T]à valeurs dans E.

On sait que l'espace C,muni de la norme sup,est de Banach.

On definit une nouvelle norme sur C par:

IIfII=max{exp(-Lt)If(t)I;0<= t\<= T} (1)

Exercice.Montrer que II.II est une norme equivalente

a la norme sup.

Theoreme1

Soit K une application continue de [0,T]x[0,T)xE

dans E qui satisfait la condition de Lipschitz:

Il existe k >0 : IK(t,s,x)-K(t,s,y)I<= kIx-yI

pour tout (t,s) dans [0,T]x[0,T],et x,y dans E.

Alors pour chaque f dans C l'équation intégrale

de Volterra:

x(t)=f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s)ds (0<=t<= T) (2)

possède une solution unique x dans C.De plus

la suite{x_{n}} d'itérations définie par :

x_{0} dans C et x_{n+1}(t)=f(t)+

\int_{0}^{t}K(t,s,x_{n})ds

converge uniformement sur [0,T] vers la solution

unique x.

Preuve:


On definit une application S sur C par :

S(x)(t)= f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s))ds;

Il est evident que C est stable par S(SC\subset C)

(à justifier)

Montrons que S est strictement contractante de C

dans C;en effet,

pour x,y dans C,on a

IS(x)(t)-S(y)(t)I

<=\int_{0}^{t} IK(t,s,x(s)-K(t,s,y(s)I ds


<= k \int_{0}^{t} Ix(s)-y(s)I ds


=k \int_{0}^{t} exp (Ls) exp(-Ls)Ix(s)-y(s)I ds


<= kIIx-yII \int_{0}^{t} exp(Ls) ds

=(k/L)IIx-yII (exp(Lt)-1)

En multipliant l'inégalité par exp(-Lt) ,on trouve:

exp(-Lt)IS(x)(t)-S(y)(t)I<=(k/L)IIx-yII (1-exp(-Lt))

En passant au maximum sur [0,T],on a:

IIS(x)-S(y)II<=(k/L)1-exp(-LT))IIx-yII

On prend L >=k,donc (1-exp(-LT))<1,

Par conséquent S est strictement contractante et

de là, elle admet un point fixe unique dans C.

La convergence de la suite {x_{n}} dans C,suit du

principe de contraction de Banach.

Corollaire.

Soit (E,I.I) un espace de Banach;[0,T] est intervalle

dans IR.f est une application continue de [0,T]xE

dans E telle que:

Il existe k >0 tel que : If(t,x)-f(t,y)I <= kIx-yI

pour tout (t,x,y) dans [0,T]xExE

Alors le problème de Cauchy:

x'=f(t,x) (1) x_{0}=z appartenant à E (2)


possède une solution unique définie sur [0,T]

Preuve:

Soit K(t,s,u)=f(s,u) et f(t)=z dans (2),l'équation

de Volterra devient:

x(t)=z+\int_{0}^{t}f(s,x(s))ds

La solution de cette équation intégrale est

précisément la solution du problème de Cauchy (1)-(2).