Notes sur l'analyse fonctionnelle.

Sur le théorème du point fixe de Brouwer

2009-10-16T05:58:00.000-07:00

I.Le résultat fondamental dans la direction des théorèmes du point fixe du type compact est le célébre théorème de L.E.J Brouwer (1912).Ce theoreme est usuel dans les applications de l’analyse , comme il a influencé le developpement de plusieurs branches de mathématiques, en particulier la topologie algébrique.Ce théorème a connu plusieurs généralisations,dans les espaces de Banach de dimension infinie, notemment par Schauder (1930) et Darbo(1955)( par les techniques de la notion de la mesure de non-compacité).

Les deux versions du théorème de Brouwer sont formulées comme suit :

Theoreme1.

Soient E un espace de Banach de dimension finie et K un sous-ensemble de E,non vide, convexe et compact .Alors toute application continue f de K dans K admet ,au moins, un point fixe.

Theoreme2.

Soient ℝ(n) l’espace euclidien et B la boule unité férmé. Alors toute application continue f de B dans B admet, au moins ,un point fixe.

On démontre facilement que ces deux versions sont équivalentes.

La démonstration du théorème du point fixe de Brouwer dans la droite réelle est aisée par le théorème des valeurs intérmédiares :

Soit f une application continue de [a, b] dans [a,b],où [a,b] est un intervalle fermé borné de ℝ .Alors f admet ,au moins, un point fixe.

Mais la démonstration dans ℝ(n) n'est pas immédiate.C'est le résultat important de la théorie du point fixe le plus ancien et le plus délicat à démontrer.On rappelle qu’il existe plusieurs méthodes de démonstrations de ce théorème ;on note que sa démonstration est une conséquence immédiate de la théorie de la topologie algébrique et de la théorie du degré topologique.Aussi,on peut lire les démonstration directes par la méthode des simplexes et le lemme de non-retraction.

II.Remarques.Exemples.
i) Dans le théorème1,il est évident que
Fix(f)={x dans K :f(x)=x} est compact,
mais il n’est pas nécéssairement réduit à un point,comme le montre les exemples suivants :
a)E= ℝ , K=[0,1] et f(x)=x^(2) .Fix(f)={0,1}
b) E= ℝ, K=[-1,1] et f(x)=x|x| .Fix(f)={-1,0,1}
c)E= ℝ(n) , K=B et f(x)=x ||x||.Fix(f)={0}US.
( oû S désigne la sphère dans ℝ(n))
ii) le théorème1 n’est pas valable si :
a) K est seulement compact ;comme exemple, on considere l’application T de S
dans S définie par Tx= -x ;le point fixe possible est le vecteur 0 qui n'appartient pas à S.
b)K est seulement borné et convexe ;comme exemple,on prend E= ℝ(2) ,muni de la
norme euclidienne et K=Int(B)(=le disque unité ouvert);et on considere
l’application T défine sur Int(B) par
T(x,y)=((x+[(1-y^2)]^(1/2) ),y) ;le seul point fixe possible est le vecteur (x,y)qui appartient à S.
c) K est seulement convexe et fermé.
Comme exemple, on prend E= ℝ ,K= ℝ^(+) et on considere les applications continues
qui stabilisent ℝ^(+) et n’admettant aucun point fixe,comme l'application exp(x).
iii) L’exemple suivant, dû à Kakutani (1943) ,montre que si E est de dimension infinie le théorème de Brouwer n’est pas valable .
Soit l’espace des suites l(2) muni de la norme habituelle :

Pour x={x(n) }, | x | =( Sigma(n>0) | x(n) |^(2) )^(1/2)

On sait que ( l(2) , | . | ) est un espace de Hilbert de dimension infinie.Soit T l’application définie sur B (la boule unitè fermée de l(2) ) par :

T : x --->y =( (1-|x |^(2) )^(1/2) ,x(1) ,x(2) ,…)

Il est évident que B est stable par T, T est continue et Fix(T) est vide(à vérifier).

Nota.Pour les références des articles des auteurs cités dans ce texte,voir le message dans ce blog(Références 2/2/2007).

Problème ouvert dans la théorie du point fixe(3)

2009-03-31T16:24:00.000-07:00

Peut-on trouver un résultat unifiant les théorèmes du point fixe de Caristi,[Krasnoseleskii et les auteurs] et Kannan?.

Le principe de Caristi-Ekeland

2008-09-27T08:44:00.000-07:00

1.On rappelle(voir le message de 26/10/2007, 3ème démonstration du principe de contraction )le résultat suivant:

Soit (E,d) un espace métrique complet.T est une application continue de E dans E et il existe une application(quelconque) f de E dans IR^{+} telle que:

d(x,Tx)<=f(x)-f(Tx) sur E

Alors,T admet un point fixe.

Cette formulation généralise le principe de contraction au niveau de l'existence du point fixe.

2. Dans cette direction,Caristi(1976) a proposé le résultat suivant:

Théorème1.

Soit (E,d) un espace métrique complet.T est une application (quelconque) de E dans E et il existe une application f de E dans IR semi-continue-inférieurement , minorée et telle que:

d(x,Tx)<=f(x)-f(Tx) sur E

Alors T admet un point fixe.

Pour la démonstration directe de ce thèorème on utilise les méthodes d'ordre;on ordonne E par la relation:

x<=y si, et seulement si, d(x,y)<=f(x)-f(y)

et on applique ,par exemple, le résultat d'ordre général de [Brezis-Browder].

(voir aussi [Dugundji-Granas]:[Deimling],[Goebel-Kirk] ).

3.Rappelons le principe variationnel suivant dû à Ekeland :

Theoreme2

Soit (E,d) un espace métrique complet. f:E -->IR est une fonction semi-continue inférieurement et minorée.On se donne un epsilon strictement positif.Alors , il existe un x=x(epsilon) appartenant à E tel que:

pour tout y dans E,f(y)>=f(x)-epsilon d(x,y)

4.Les théorèmes 1 et 2 sont équivalents;en effet:

Le théorème2 entraine le théorème1.

On applique le théorème d'Ekelend avec epsilon dans ]0,1[.Donc il existe un x appartenant à E tel que :

pour tout y dans E, f(y)>= f(x)- epsilon d(x,y)

On prend y=Tx;d'où :

d(x,T(x))<= f(x)-f(T(x))<=epsilon d(x,T(x))

donc d(Tx,x)=0 et Tx=x.

Le théorème1 entraine le théorème2

On utilise l’axiome de choix.Supposons le contraire, alors il

existe un epsillon strictement positif tel que pour tout x dans E ,il existe un

g(x) différent de x tel que

f(g(x))<= f(x)- d(x, g(x))

D’oû g admet un point fixe.Contradiction .

5.La formulation de Caristi(theoreme1) est considérée comme une généralisation importante du principe de contraction de Banach,au niveau seulement de l'existence du point fixe, et suscite encore de l'intérêt;on signale plusieurs généralisations de ce théorème dans la littérature(voir,par exemple [Downing,D-W.A. Kirk]. [Bae, J. S. - Cho, E. W. - Yeom, S. H. (1994)].[Bae, J.S. (2003)].Aussi,signalons un résultat de Takahashi(1990)qui propose un résultat de minimisation non-convexe, unifiant le théorème de Caristi et le principe de minimisation d'Ekeland.

(Pour la bibliographie des articles cites ci-dessus,voir le message 2/2/2007)

Points fixes communs d'applications commutatives

2008-06-10T14:02:00.000-07:00

Exercice

Soit f et g deux applications continues de I=[0,1] dans I.On suppose que fog=gof.
i)Montrer qu'il existe un x appartenant à I tel que f(x)=g(x ).
ii)On suppose que f est croissante sur I ;montrer que f et g ont un point fixe commun.
iii)On suppose que f est affine,c-à-d,f(x)=ax+b,(a et b deux constantes dans IR) ;montrer que f et g ont point fixe commun
iv)On suppose que f est contractante;montrer que l'ensemble des points fixes de f est convexe;en deduire que f et g admettent un point fixe commun

Remarques.
Les resultats classiques concernant le point fixe commun d'une famille
quelconque d' applications sont les theoremes de [Markoff-Kakutani] et [Kakutani].Le premier theoreme concerne le point fixe commun d'une famille d'applications affines et commutatives stabilisant un compact convexe dans les espaces e.v.t.l.c.s.(= espaces vectoriels topologique localement convexes separes );le deuxieme,concerne le point fixe commun d'une famille d'un groupe de bijections affines et equicontinues(non commutatives) stabilisant un compact convexe dans les espaces e.v.t.l.c.s..Rappelons que le theoreme de Markoff-Kakutani est utilisé pour redemontrer le theoreme de Hahn-Banch.Reciproquement,[Dirk Wener] a cherche de demontrer la reciproque;dans son papier,il a presente une demonstration elegante de l'existence du point fixe de toute application affine continue stabilisant un convexe compact dans les les espaces e.v.t.l.c.s.,et ce ,à l'aide de la version forte du theoreme de separartion de Hahn-Banach.
Signalons que [De marr] a démontré un résultat (similaire)au théorème de Markoff-Kakutani pour les applications contractantes dans un espace de Banach quelconque;ce résultat est amélioré par [Belluce -Kirk].
Rappleons aussi, qu'une famille d'applications contractantes commutatives,stabilisant tout convexe borne et ferme dans un espace de Banach uniformement convexe,admet un point fixe commun;la demonstration de ce resultat est presque immédiate.Voir ,par exemple, [Deimling];le meme resultat est valable dans le cadre des espaces de Banach reflexifs strictement convexes à structure normale.
La litterature est relativement importante sur le sujet.Pour un essai de synthese des théorèmes du point fixe de [Darbo ]et le theoreme de[Markoff-Kakutani], voir [Hajji-Hanebaly]
Les references figurent dans le message de 2/02/2007

Principe de contraction generalisée (d'après Krasnoselskii et les auteurs).

2008-04-18T14:12:00.000-07:00

Parmi les géneralisations intérssantes du principe de
contraction de Banach, on cite le résultat suivant
( Krasnoselskii et les auteurs)

Theoreme

Soit (E,d) un espace metrique complet.Soit T une

contraction generalizee de E dans E ,c-à-d,

pour tout a,b dans IR^{+}-{0],il existe une constante

0< k= k(a,b)<1 telle que:

d(Tx,Ty)<= k d(x,y) , a<=d(x,y)<=b

Alors,T admet un point fixe unique z ,et pour tout x dans

E,la suite {T^{n}x} converge vers z.

Deux demostrations sont proposees.L'une est constructive

similaire à la demonstration originelle du principe de

contraction de Banach(voir [ Krasnoselskii-Burd-Kolesov]
.
L'autre est basee sur un raisonnement par l'absurde et le

principe des ensembles emboites.(Theoreme de Cantor)

(Voir Krasnoselskii-Zabreiko] .

Comme consequence ,on retrouve les resultats suivants:

corollaire.

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application

E dans E.Alors T admet un point fixe unique si l'une des

conditions suivantes est verifiee:

i) T est strictement contractante

Banach(1922)

ii)E est compact et d(Tx,Ty)< d(x,y) sur ExE

avec x different de y.

Edelstein(1962)

iii) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} semi-continue-superieurement,f(r) < r

sur IR^{+}\{0} et telle que

d(Tx,Ty)<= f(d(x,y))) sur ExE.

Boyd-Wong(1969)

iv) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} croissante,continue à droite, f(r)< r

sur IR^{+}\{0} et telle que

d(Tx,Ty)<=f(d(x,y)) sur ExE.

Browder(1968)

v) Il existe une fonction f de IR^{+} dans

IR^{+} croissante,verifiant pour tout r dans

IR^{+} ,f^{n}(r)-->o,lorsque n-->l'infini

et telle que

d(Tx,Ty)<= f(d(x,y)) sur ExE.

Matkowski(1975)

Preuve:

La demonstration est facile.Pour i) c'est evident.

Demontrons par exemple ii).

Soit a,b dans IR^{+}-{0}.Puisque K est compact et

T est continue,il existe (x_{0},y_{0}) dans KxK tel que:

sup{ d(Tx,Ty)/d(x,y): a<=d(x,y)<= b}

=d(T(x_{0},Ty_{0})/d(x_{0},y_{0})<1.

Demontrons v).Soit a,b dans IR^{+} -{0} .Par recurrence ,on a:

d(T^{n}x,T^{n}y)<=f^{n}(d(x,y)) sur ExE.

Comme f^{n}(b)--> 0,lorsque n--->l'infini, on peut choisir

un n tel que f^{n}(b)< a ; il suit que, pour

0< a <=d(x,y)<= b,et en tenant compte que ,pour tout n dans

IN, f^{n} est croissante,on a:

d(T^{n}x,T^{n}y)<=f^{n}(d(x,y))

= [f^{n}(d(x,y))/d(x,y)]d(x,y)

<= f^{n}(b)/a]d(x,y)

Par le theoreme ci-dessus,T^{n} admet un point fixe unique z,

et de là,z est aussi,un point fixe unique de T.

Exercice.Démontrer directement les résultats du corollaire.

(Pour la bibliograhie ,voir message réferences 2/02/2007).

Point fixe des applications contractantes

2008-02-23T07:35:00.000-08:00

1)Exercice.

Soit (E,d) un espace métriqe compact.

T est une application continue

(ou plus generalement fermée ou à graphe fermé)

de E dans E

i)Montrer par un exemple que T n'a pas

necessairement un point fixe.

(voir un exemple dans le message de 18/12/07)

ii)Démontrer que T admet un point fixe si

T admet une suite de points

fixes approches,c-à-d,il existe une suite

{x_{n}}dans E telle que d(x_{n},Tx_{n})

tend vers 0,lorsque n tend vers l'infini

2.Exercice

A.Soit (E,|.|) un espace de Banach.D est un

sous-ensemble de E , non-vide, convexe, borne

et ferme.T est une application contractante

de D dans D.

i)Montrer,par un exemple, que T n'a pas nécessairement

un point fixe.

(voir un exemple dans le message de 18/12/07)

ii)Démontrer que T admet des points fixes approches.

B.Soit [H,(.,.),I.I] un espace de Hilbert.

D est un sous-ensemble de H,non-vide, convexe, borne

et ferme.T est une application contractante de D dans D.

{u(n)} désigne une suite de points fixes approches de T.

u est la limite faible d'une sous-suite de {u(n)}

Justifier l'existence de u.

iii)Soit v un élément quelconque de H et P est l'opérateur

de projection sur D.Justifier l'existence de P.

On admet que P est une application contractante

de H dans D.

Montrer que:

(u(n)-v-Tu(n)+TP(v),v-u(n))<=0,

quel que soit v dans H.

En deduire que:

(TP(v)-v,v-u)<=0,

quel que soit v dans H.

iv)Considérons un élément quelconque w dans H

et définissons v par:

v=u+tw avec t>0

Montrer que (TP(u)-u,w)<=0.

En déduire que u est un point fixe de T.

v) Montrer que Fix(T)={u dans D:Tu=u}

est un ensemble convexe,borne et ferme.

Remarque.Le théorème du point fixe présenté

dans l'exercice2 ci-dessus,est du a Browder.

On démontre aussi que ce résultat est valable

dans les espaces de Banach uniformément

convexe(Browder et Gohde)et plus généralement

dans les espaces de Banach réflexif à

structure normale(Kirk).Ces quatres articles

ont éte publiés, d'une manière indépendante,

au cours de la meme année 1965;

c'était le point de départ des recherches

importantes,quantitatves et qualitatives,

sur les Applications contractantes et la

théorie du point fixe.Soulignons que la demarche

de Kirk a suscite plus d'interet dans ces recherches.

Pour un apercu sur ces travaux,on peut

consulter,par exemple,les lectures de

Kirk(1981),Goebel-Kirk(1990) et Kirk(1996).

Le dernier papier est consacré aux problèmes

ouverts.

Enfin ,notons que la demonstration du theoreme

de Browder et Browder- Gohde,dans les espaces

de Hilbert et les espaces uniformement convexes ,

est presentee d'une maniere assez

simple avec la notion du centre asymptotique.

(voir le message de 18/12/07 pour des exemples sur

ce sujet.voir le message-références de 2/2/07 pour

les articles cites ci-dessus)

Une version du theoreme du point fixe de Banach du type integral

2008-02-21T10:59:00.000-08:00

8.Notation On désignera par IN(f,0,a) l'intégrale de f sur

l'intervalle [0,a] dans IR.

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application

de E dans E verifiant :

Il existe k dans (0,1[ telle que :

IN(f,0,d(Tx,Ty))<=k IN(f,0,d(x,y)) , sur ExE

ou f est une fonction de IR^{+} dans IR^{+},localement sommable et pour tout \epsilon >0 ,

IN(f,0,\epsilon)>0.

Demontrer que T admet un point fixe unique z;et pour

tout x dans E, la suite {T^{n}x} converge vers z.

Comparer ce resultat avec le theoreme du point fixe de

Banach.

(D'après Branciari.Voir message references)

Exemples dans la theorie du point fixe.

2007-12-18T07:03:00.000-08:00

Rappel:

Soit (E,d) un espace métrique complet.D est un sous-ensemble

ferme de E.T est une application de D dans D.T est dite:

i) une isométrie si d(Tx,Ty)=d(x,y) sur DxD.

ii)contractante si d(Tx,Ty)<=d(x,y) sur DxD.

iii) contractive si d(Tx,Ty)< d(x,y), x different de y.

Exemples.

I.Applicaions isometriques

Applications qui n'ont pas de point fixe:

1)E=D est un espace de Banach et Tx=x+a (a dans E-{0})

2)Soit l'espace de Banach C(0)=

{x=(x(n)):lim x(n)=0,lorsque n-->l'infini})

muni de la norme habituelle:II(x(n))II=sup Ix(n)I.

B désigne la boule unitée fermée de C(0).

T est une application de B dans B définie par:

T({x(n)})=(1,x(0),x(1)...,x(n)...)

Il est évident que T est une isométrie et

le seul point fixe de T est le vecteur

(1,1,1,...,1,...)qui n'appartient pas à

C(0);mais il appartient a l(infini),l'espace

des suites bornées.

3)Exemple1-Edelstein(1964)

Exercice.

Soit l'espace de Banach C _{0}muni de la norme habituelle.

T est une application define sur C par:

Tx=y ou x={x_{n}} et y={y_{n} }avec

y_{n} =[exp(2i \pi/n !)] x_{n} -(-1)^{n}[exp(2i\pi/n !)-1]

n=1,2,…

i)Verifier que y appartient à C

ii)Montrer que T est une isometrie sur C .

iii)Pour (0)=(0,0,….),montrer que {T ^{k}(0) } est

bornee dans C et que lim T^{k!} (0)=0,

lorsque k--->l'infini .

iv)Montrer que T n'a pas de point fixe dans C .

4.Exemple2-Edelstein(1964)

Exercice.

Soit l'espace des suites l^{2} muni de la norme habituelle :

IxI=I(x_{0} ,x_{1} ,…)I=(Sigma(k=0 à l'infini)Ix_{k}I)^{1/2}

On sait que (l^{2} ,I.I) est un espace de Hilbert.

Soit T une application définie sur l^{2} par :

Tx=y ou y={y_{n} ) avec y_{n}=[exp(2i\pi/n !)] (x_{n} -1)+1

n=1,2,…

i)Montrer que l^{2} est stable par T.

ii)Montrer que T est une isométrie sur l^{2}

iii)Vérifier que :

IT^{k}(0)I^{2} =4 (Sigma (k=1 à l'infini)sin^{2} (\pi k/n !)

En déduire que IT ^{k!}(0)I---> 0,lorsque k--->l'infini ;

et si q_{k} =(1/2)Sigma(j=1 à k) (2jk)!

Alors IT^{q_{k}}(0)I--->l'infini,lorsque k--->l'infini

iii)Montrer que T n'a pas de point fixe dans l^{2}

Remarque.Les deux exemples d'Edelstein ci-dessus

montrent que le resultat,du au meme auteur(voir message 3/6/07 )

n'est pas valable si T est une isométrie.

5. Le contre-exemple de D.Alspach(important)

A la question ouverte suivante:

Soient E un espcace de Banach et K un sous-ensemble de E

non vide convexe et faiblement compact.T:K ---->K une

application contractante.T admet-elle un point fixe?

Alspach a repondu negativement par l'exemple suivant

Exercice.

Notation.I(f,[0,1])=l'integrale de f sur [0,1]

Soient I=[0,1] et E=L^{1} (I) l'espace des fonctions

integrables sur I,muni de la norme habituelle.

On considere l'ensemble:

K={f \in E : I(f,[0,1])=1 ,0<=f<= 2] }

T est une application definie sur K par :

(Tf)(t)= Min {2f(2t),2} , si 0<=t<=1/2]

(Tf)(t)=Max{2f(2t-1)-2,0}, si 1/2< t<=1]

Montrer que:

i) K est convexe et faiblement compact.

ii) K est stable par T.

iii)T est une isometrie.

iv)T n'a pas de point fixe dans K.

La demonstration n'est pas evidente.Voir,par exemple,
[Geobel-Kirk](Message References 2/02/2007)

II.Applications contractantes.

i)Applications contractantes qui admettent des points fixes:

6)E=IR et T=sin .

T est une application contractante(à vérifier)

et 0 est un point fixe unique de T.(Justifier

l'existence du point fixe, en prenant D=[-1,1].

Demontrer ensuite que ce point fixe est unique).

7)L'espace C(0) et la boule unitee fermee B, sont

définies dans l'exemple 2).

Soit T une application de B dans B définie par:

T({x(n)})=(x(0),1-Ix(0)I,x(1)...,x(n)...)

Il est evident que T est contractante(à vérifier).

Comme lim x(n)=0,et si x=Tx,alors x(1)=x(2)=...=0.

Il suit que Ix(0)I=1;et Fix(T)={e(1),-e(1)

ou e(1)=(1,0,0,...,0,...)

Fix(T) est discontinue.Remarquer que l'espace C(0),muni

de la norme habituelle,n'est pas strictement convexe.

(Voir le message de 23/2/08)

ii)Applications contractantes qui n'admettent pas de points fixes:

8)E=IR et D=[-2,-1]U[1,2].T est une application de

D dans D,definie par:

Tx=1,si x appartient à[-2,-1]

=-1,si x appartient à[1,2]

Il est evident que T est contractante et n'admet pas

un point fixe.On remarque que le domaine D est ferme,

borne et non convexe.

III)Applications contractives

Applications contracives qui n'admettent pas de points fixes:

9)E=IR,D=IR^{+}et Tx=\sqrt{x^{2}+1}

10)E=D=IR et Tx=Log(1+exp(x))

11)E=IR , D=IR^{+} et Tx=x+1/(x+1)

12)E=C([0,1],IR) est l'espace des fonctions continues

de[0,1] dans IR muni de la norme sup:

|x|=sup|x(t)|

on sait que (E,|.|) est un espace de Banach.Soit

D={x\in E: 0=x(0)<= x(t)<= x(1)=1}.Alors D est

un ensemble convexe borne et ferme(à vérifier).

Soit T une application de D dans D

définie par Tx(t)= t x(t).Il est facile de

vérifier que T est contractive ;le seul point

fixe de T est la fonction discontinue x(t)=0

pour 0<= t<1 et x(1)=1.

T n'a pas de point fixe dans D.

13)Exercice

Soit E un ensemble denombrable dont les points sont

notes a(n),n=1,2,....On munit E de la distance definie par:

d(a(p),a(p))=0 et d(a(p),a(q))=1+(1/p)+(1/q)

si p est different de q.

i)Verifier que d est une distance sur E et que (E,d)

est complet.

ii)Soit T l'application de E dans E definie par

T(a(p))=a(p+1).

Montrer que T est contractive et Fix(T) est vide.

14)Exercice.

Soit B la boule unite ferme de l'espace des suites C(0)

(voir l'exemple 2).T est une applicaction de C(0) dans

C(0)telle que T(e(n))=(1-2^{-(n+1)}e(n+1),n>=0,où {e(n)}

est la base canonique de C(0).Soit

U(x)=1/2(1+IIxII)e(0)+T(x).

Montrer que U est contractive de B dans B et Fix(U) est vide.

IV)Applications strictement contractantes.

15)Exercice.

Montrer que la fonction cos est strictement

contractante de [-1,1] dans [-1,1].Calculer

le point fixe.

16)Soit la fonction Tx=x/2 de ]0,1] dans ]0,1].Il

est evident que T est strictement contractante

mais elle n'a pas de point fixe;le domaine n'est pas

ferme.

v)Applications du type compact(ou alpha-compact).

17)soit la fonction x(t)=t^{2} de [0,1] dans [0,1].

Fix(x)={0,1}

18)soit la fonction x(t)=t ItI de [-1,1] dans [-1,1].

Fix(x)={-1,0,1}

19)Soit (E,I.I) un espace de Banach.B designe la

boule unite fermee.

T est une application de B dans B definie par:

T(x)=xIxI.

Fix(T)={0}U {x: IxI=1}.

Remarque.

Le theoreme de Brouwer explique l'existence

des points fixes dans les exemples 15) et 16);par contre,

le meme theoreme explique l'existence des points fixes,

dans l'exemple 17),lorsque E est de dimension finie.

On constate que,dans ces exemples,l'unicite du point fixe

n'est pas assuree.

20.Soient IR^(n) l'espace euclidien et S

la sphere(={x dans IR^(n):IxI=1}).Soit l'application T

de S dans S definie par Tx=-x;alors le point fixe possible

de T est 0 n'appartenant pas à S.

(S est non convexe).

Comparaison entre les theoremes du point fixe de Brouwer et Banach dans la droite reelle

2007-11-25T10:29:00.000-08:00

L'exercice suivant montre que le principe de

contraction de Banach, sur la droite réelle ,est

une conséquence du théorème du point fixe de Brouwer

au niveau de l'existence d'un point fixe et non l'unicité.

Exercice.

i)Soit T une application continue de [a,b] dans [a,b];

[a,b] désigne un intervalle ferme borne dans IR.

Démontrer que T admet un point fixe.Montrer ,par

un exemple,que le point fixe n'est pas nécessairement unique.

(Théoreme du point fixe de Brouwer dans IR)

ii)Soit T une application strictement contractante de IR

dans IR.Démontrer,a l'aide de i),que T admet un point fixe

unique.

(Indication:Montrer que pour tout x(0),il existe un r>0 tel

que l'intervalle [x(0)-r,x(0)+r] est stable par T )

Remarque.L'exercice précédent est étendu ,sans difficultés,

aux espaces de Banach de dimension finie ou infinie,

en utilisant le théorème du point fixe de Brouwer ou le

théorème du point fixe de Darbo.

Geometrie de fractal et le theoreme du point fixe de Banach

2007-11-11T05:37:00.000-08:00

Introduction.

Soit (E,d) un espace métrique complet.Pbf(E) désigne

toutes les parties bornées et fermées de E.K(E) désigne toutes

les parties compactes de E.On définit sur Pbf(E) la distance

de Hausdorff:

Pour A,B dans Pbf(E),D(A,B)=max( d'(B,A),d'(A,B))

ou d'(B,A)=sup {d(x,A),x dans B} et d'(A,B)=sup {d(x,B),x dans A};

d(x,A)(Resp.d(x,B))dénote la distance de x à A(Resp. B)

On démontre que (Pbf(E),D) et (K(E),D) sont des espaces

métriques complets.

Exercice.

(E,d) désigne un espace métrique complet.Soit un système de

fonctions itérées(ou ISF) sur E,c-à-d,un ensemble

d'applications{f_{i}}(1<=i<=n),telle que chaque f_{i} est

une application k_{i}-strictement contractante de E dans E.

On définit une application F sur K(E) par:

F(A)=U f_{i}(A).
1<=i<=n

i)Vérifier que K(E) est stable par F.

ii)Démontrer que F est k-strictement contractante,ou

k=max(k_{i},i=1,2,...n), de (K(E),D) dans (K(E),D)

En déduire qu'il existe un C unique dans K(E)(appelé Attracteur de l'ISF)

tel que :

C= U f_{i}(C).
1<=i<=n

C est un fractal.

iii)Montrer que pour tout x dans C,F^{p}x converge vers C dans(K(E),D).

iv)Exemples.

a) dans la droite réelle.

Soient f_{1} et f_{2} deux applications de IR dans IR définies par:

f_{1}(x)=(1/3)x et f_{2}(x)=(1/3)x+2/3.

On prend comme valeur initiale C_{0}=[0,1];vérifier que

le point fixe de F,par les itérations F^{n}( C_{0}),est

l'ensemble de Cantor.

b) dans le plan.

Rediger l'exemple précédent dans le plan,et dessiner

les trois premières itérations C_{0},C_{1} et C_{2}.

Solution globale(sur IR) des équations différéntielles du type Lipschitz.

2007-11-07T10:21:00.000-08:00

Exercice.

1.Question préliminaire.

Soit (E,I.I) un espace de Banach;CB=C(IR,E) désigne

l'espace des fonctions continues et bornées sur IR et

à valeurs dans E.On sait que CB,muni de la norme

IIxII=sup{Ix(t)I,t dans IR},

est de Banach.Soit c > 0 et considérons l'espace:

CB'=C'(IR,E)

={x:IR--->E ,continue et sup(exp(-cItI)Ix(t)I ,t dans IR) est fini}

oû ItI dénote la valeur absolue de t

Démontrer que CB' ,muni de la norme:

IIIxIII= sup{exp(-cItI)Ix(t)I, t dans IR}

est de Banach et que l'espace CB s'injecte continuement et strictement dans CB'.

2.Soit f une application lipschitzienne de E dans E,c-à-d,:

Il existe k > 0 tel que If(x)-f(y)I<= kIx-yI sur ExE.

Considérons le problème de Cauchy:

x'=f(x) (1) x(0)=x_{0} appartient à E (2).

Pour x dans CB' et t dans IR,soit l'application:

Tx(t)=x_{0}+ Intégrale (0 à t)f(x(s))ds.

i)Montrer que CB' est stable par T.

ii)On prend c>k.Montrer que T est strictement contractante de CB' dans CB'.

En déduire que le problème de Cauchy (1)-(2) admet une

solution unique dans CB'.

Equations Integrales( Differentielles) du type Lipschitz et iterations de Picard.

2007-10-22T04:43:00.000-07:00

Exercice

On reprend le meme cadre du theoreme1

dans le message du 28/11/2006

Soit (E ,I.I) un espace de Banach reel.

C designe l'espace des fonctions continues

definies sur [0,T]a valeurs dans E.

l'espace C est muni par la norme

sup, notee II.II

Soit K une application continue de [0,T]x[0,T)xE

dans E qui satisfait la condition de Lipschitz:

Il existe L>0 : IK(t,s,x)-K(t,s,y)I<= LIx-yI

pour tout (t,s) dans [0,T]x[0,T],et x,y dans

E. On defini la meme application S

sur C (voir la démonstration du theoreme1) par :

S(x)(t)= f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s))ds;

. ou f est un element fixe dans C et x dans C

i)Verifier que C est stable par S.

ii)pour x,y dans C,montrer que:

II(S^{n}x)-(S^{n}y)II<= [(LT)^{n}/n!] IIx-yII

ii)En deduire que S admet un point fixe unique z dans C.

iii)Montrer que pour chaque x dans C,on a:

IIS^{n}x-zII<=R_{n}ISx-zI

ou R_{n) est une constante à determiner.

iv) Chercher les avantages de cet approche.

(Comparer avec le theoreme1 )
Preuve:

i)evident

ii)Demonstration par recurrence:

pour n=1,c'est évident.Supposons le résultat est

vrai a l'ordre n;alors:

I(S^{n+1}x)(t)-(S^{n+1}y)(t)I

<=\int_{0}^{t} IK(t,s,(S^{n}x)(s))-K(t,s,(S^{n}y)(s))I ds

<= L\int_{0}^{t} I(Sx)(s)-(Sy)(s)Ids

<= \int(L^{n+1} s^{n})/n!)Ix(s)-y(s)I ds

= (Lt)^{n+1}/(n+1)! IIx-yII

En prenant le sup sur [0,T],on obtient:

IIS^{n+1}x-S^{n+1}yII<= (LT)^{n+1}/(n+1)! IIx-yII (*)

ii)En tenant compte de l'inegalite precedente(*),appliquer

l'assertion i)ou l'assertion ii) de l'exercice du message

20/10/2007.

iii)Pour x quelconque dans C,on a:

IIS^{n}x-zII<=sigma(i=0 à l'infini)IIS^{n+i}x-S^{n+i+1}xII

<=R_{n} IIz-SxII

ou R_{n}=Sigma(i=0 à l'infini)[(LT)^{n+i}/(n+i)!]

c'est le reste du developpement en serie de exp(LT).

iv)laisse au lecteur.

(

Généralisations simples du théorème du point fixe de Banach

2007-10-20T08:46:00.000-07:00

Exercice

Soit (E,d) un espace métrique complet.T est une application de

E dans E.Montrer que ,pour tout x dans E, {T^{n}x} converge

dans E,vers un point fixe unique de T,si l'une des conditions

suivantes est vérifiee:

i)Il existe un entier n>= 1 et une constante k dans ]0,1[

telles que:

d(T^{n}x,T^{n}y)<= k d(x,y) sur ExE.

ii)Il existe une suite {k_{n}} dans IR^{+} telle que:

d(T^{n}x,T^{n}y)<= k_{n} d(x,y) sur ExE(*)

où la série [k_{n}] est convergente .

iii)E est muni d'une autre distance d' telle que:

d(x,y)<=d'(x,y) sur ExE,

T est continue par rapport à d et strictement contractante

par rapport à d'.

Le theoreme du point fixe de Banach et le domaine invariant(version modulaire)

2007-09-21T14:52:00.000-07:00

L'exercice suivant propose une version modulaire(partielle)

du resultat ,bien connu dans les espaces de Banach,

concernant le principe de contraction et le domaine d'invariance.

(voir le message du 29/3/07)

Exercice.

Soit (E,rho) un espace modulaire complet.On suppose que

rho(x-y) est fini sur ExE. T est une application fortement

contractante de E dans E,c-à-d, il existe des constantes c et k telles que

c> 1 , k dans ]0,1[ et

rho(c(Tx-Ty))\leq k rho(x-y) sur ExE.

1) Demontrer que I-T est bijective de E sur E.

2)On suppose de plus que le modulaire

rho verifie la condition delta2.Demontrer que

T est un homeomorphisme de E sur E.

Preuve:

1) Soit l'application S de E dans E,definie par:

Sx=Tx+y,ou y est un element donné dans E.Montrons

que S admet un point fixe unique.En effet,

rho(c(Sx-Sy))=rho(c(Tx-Ty))\leq k rho(x-y)

sur ExE;alors S admet un point fixe

unique(voir Ait taleb-Hanebaly.references.Message 2/2/07))et par

consequent,I-T est inversible de E sur E.

2)Montrons que I-T est rho-continue;en effet,

soit {x(n)} une suite rho-convergente vers x.

posons y(n)=x(n)-Tx(n) et y=x-Tx;et soit c' le

conjugue de c[(1/c)+(1/c')=1]alors:

rho(y(n)-y)=rho((c'/c')(x(n)-x)+(c/c)(Tx-Tx(n))

\leq rho(c'(x(n)-x))+k rho(x(n)-x),

Par dlta2,rho(c'(x(n)-x)) tend vers 0,lorsque n

tend vers l'infini,donc,y(n) tend vers y.

Montrons que (I-T)^{-1} est continue;en effet:

soit {x(n)} une suite rho-convergente vers x.

Posons y(n)=(I-T)^{-1}x(n) et y=(I-T)^{-1}x,donc,

x(n)=y(n)-Ty(n) et x=y-Ty;dela:

rho(y(n)-y)=rho((c'/c')(x(n)-x)+(c/c)(Ty(n)-Ty)))

\leq rho (c'(x(n)-x))+k rho (y(n)-y)

ce qui entraine que:

rho (y(n)-y)\leq (1/1-k) rho(c'(x(n)-x))

Par delta2,le second membre de l'inegalite ci-dessus

tend vers 0,lorsque n tend vers l'infini et y(n) est

rho-convergente vers y,donc, (I-T)^{-1}est rho-continue.

Version modulaire du theoreme du point fixe d'Edelstein.

2007-06-03T14:00:00.000-07:00

Introduction:

Rappelons le theoreme du point fixe d'Edelstein(1962)

(cadre metrique):

Theoreme.

Soit(E,d)un espace metrique complet.T est une application

contractive de E dans E.On suppose q'il existe un x dans E

tel que la suite {T^{n}x}possede une sous-suite convergente

vers z.Alors, z est un point fixe unique de T.

Le resultat suivant propose une version modulaire de ce

resultat.Cette formulation a ete introduite dans la these

d'Ait taleb(1996). voir message references.

Exercice.

Soit E(rho) un espace modulaire,ou rho verifie la propriete

de Fatou.K est un sous-ensemble rho-compact de E(rho).T est

une application de K dans K telle que :

rho(Tx-Ty)< rho(x-y) pour tout (x,y) dans KxK avec x different de y

Montrer qu'il existe un z dans K tel que inf{rho(x-Tx);x dans K}

=rho(z-Tz).En deduire que Tz=z.

Preuve:

Soit a=inf{rho(x-Tx);x dans K};alors,il existe une suite minimisante

{x(n)}dans K telle que rho(x(n)-Tx(n))--->a.K etant rho-compact,on peut

extraire de {x(n)} une sous-suite,notee encore {x(n)},rho-convergente

vers z dans K;comme T est contractive, donc,Tx(n)converge

vers Tz.La propriete de Fatou,donne:

rho(z-Tz)<=liminf rho(x(n)-Tx(n))=a.

D'autre part, a<= rho(Tz-T^{2}z)< rho(z-Tz)<=a;

ce qui entraine que a=0 et Tz=z.

Synthese entre les theoreme du point fixe de Banach et Kannan(version modulaire)

2007-04-29T07:09:00.000-07:00

Le resultat suivant propose une version modulaire d'une

synthese entre les theoremes du point fixe de Banach et

Kannan(voir message 10/9/06).

Theoreme.

Soit E_{rho} un espace modulaire complet,ou le mdulaire

rho verifie la condition delta2. D est un sous-ensemble

rho-ferme de E_{rho}.T est une application (non

necessairement rho-continue) de D dans D verifiant:

Il existe deux constantes :c>1 et k dans (0,1) telles que

rho(c(Tx-Ty))<= k max(rho(x-y),rho(x-Tx),rho(y-Ty)) sur DxD (*)

Alors, T admet un point fixe.

Minimisation des fonctions convexes.

2007-04-09T14:53:00.000-07:00

On peut citer deux réponses,bien connues,

sur la minimisation des fonctions convexes:

La première. On rappelle la formulation suivante

( peut-etre plus pratique):

Theoreme.

Soit (E,I.I) un espace de Banach reflexif.

A est un sous-ensemble non vide, convexe et ferme de E ;

f:A ----]-\infty,\infty ]est une fonction

convexe,semi-continue--inferieuremet, non-

-identitiquement egal à \infty et telle que:

lim f(x)=\infty
IxI--> \infty

Alors f admet un minimum sur A.

Comme exemple simple f(x)=Ix-aI.(a dans E)

Pour la demonstration de ce resultat,voir

H.Brezis(References 2/2/2007).

La deuxieme.Le resultat suivant generalise un

resulat bien connu, dans la droite

reelle:

Theoreme.

Soit E un espace de Banach quelconque.f est une application convexe

de E dans IR.On suppose qu'il existe un z dans E tel que

d_{+}f(z)=0.

(d_{+}f(z).x=lim [f(z+hx)-f(z)]/h ,
h -->0^{+}

avec z,x dans E et h dans IR)

Alors , f admet un minimum en z.

pour des informations sur d_{+}f(z),

voir R.H.Martin(References 2/2/2007).

Ensuite,on montre aisément l'inégalite:

f(x)>= f(z)+d_{+}f(z).(x-z)

Enfin,remarquons que, si f est strictement convexe,alors,f admet un

minimum unique.

Le thoereme du point fixe de Banach et le domaine invariant

2007-03-29T04:49:00.000-07:00

Theoreme.

Soit (E,I.I) un espace de Banach.U est un ouvert dans E.

T est une application de U dans E,k-strictement contractante.

Soit f(x)=x-T(x).Alors:

a)f est une application ouverte, en particulier, f(U) est ouvert.

b)f ,de U sur f(U), est un homeomeophisme

Preuve:

a)Pour montrer que f est une application ouverte,il suffit de verifier

que pour tout x dans U,si B(x,r)(=la boule ouverte de centre x et de

rayon r)est dans U,alors,B [f(x),r(1-k)] est dans f(B(x,r)).

Alors,soit un z dans la boule B[f(x),(1-k)r] et on definit une

application S de B(x,r) dans E par S(y)=z+T(y);alors S est k-

strictement contractante et:

IS(x)-xI=Iz+T(x)-xI=Iz-f(x)I< (1-k)r

Donc,par la version locale du theoreme de Banach(voir le message

20/2/07),il existe un x' dans B(x,r) unique tel que x'=z+Tx',c-a-d,

f(x')=z;de la

B[f(x),(1-k)r] est dans f[B(x,r)].En conclusion f est une application

ouverte ,en particulier,f(U) est un ouvert.

b)On observe que,si u,v dans U,alors:

If(u)-f(v)I >= Iu-vI-IT(u)-T(v)I >=(1-k)Iu-vI

ceci entraine que f est injective;donc f,de U sur f(U), est une

application continue,ouverte et bijective,c-a-d,f est un homeomorphisme.

Comme consequence on a le resultat suivant :

Corollaire

E est un espace de Banach et T est une application de E dans E,

strictement contractante.Alors f=I-T est un homeomorphisme de E sur E.

(Indication:Utiliser le principe de contraction de Banach,pour demontrer

que f(E)=E)

Remarque.Le corollaire ci-dessus (generalise) un resultat dans

l'algebre de Banach L(E)(=l'espace des applications lineaires

continues de E dans E) muni de la norme habituelle:

Exercice.Soit A dans L(E) tel que IAI<1.Sans utiliser le principe de

contraction de Banach,demontrer que I-A est un isomorphisme

topologique de E sur E.

Bornage et périodicité des solutions des équations differentielles(d'après Massera)

2007-03-17T08:25:00.000-07:00

L'exercice,ci-dessous, présente le premier résultat

dans le fameux article de Massera(1950) ,qui met en

relief,le lien entre l'existence des solutions bornées

et l'existence des solutions périodiques.

Exercice.

On considère l'équation différentielle scalaire suivante:

x'=f(t,x) (*)

ou f est une fonction continue de IR^{+}xIR dans IR,et

p-périodique par rapport a t(p>0).

(c-à-d,pour x dans IR,f(t+p,x)=f(t,x)

pour tout t dans IR^{+}).

On suppose que l'équation(*),verifie les conditions de

l'unicite des solutions par rapport aux conditions

initales.

Soit y une solution de l'équation(*),bornée sur IR^{+}.

i)Montrer que si y(0)=y(p),alors y est p-périodique.

ii)Supposons que y(0)est différent de y(p),par exemple

y(0)< y(p).Montrer que,pour tout t dans [0,p], la suite

{y_{n}(t)=y(t+pn)},est strictement croissante dans IR.

iii)Dans l'espace des fonctions continues ,C([0,p],IR),

muni de la norme sup, démontrer que la suite {y_{n}}

est uniformément convergente vers une solution

p-périodique de l'équation(*).

(Utiliser le théorème d'Ascoli et le théorème de Dini)

Formulation modulaire de la version locale paramétrée du theoreme du point fixe de Banach.

2007-03-06T03:16:00.000-08:00

Dans les espaces modulaires,le résultat suivant, propose une

généralisation de la version locale paramétrée du principe

de contraction dans les espaces de Banach:

Execice(texte provisoire).

Soient X un ensemble quelconque et (E,rho)un espace modulaire

complet,où le modulaire rho vérifie la propriéte de Fatou

Soit la boule B=B(z,r)={x:rho(x-z) < r}.

T est une application deXxB dans E vérifiant:

Il existe deux constantes ,k dans]0,1[ et p>1, telles que:

rho(p(T(x,y)-T(x,y'))) <= k rho(y-y')

pour tout x dans X et tout (y,y') dans BxB.

On suppose que, pour tout x dans X, rho(q(T(x,z)-z))< r(1-k), où q est

le conjugué de p,c-à-d ,(1/p)+(1/q)=1

Démontrer qu'il existe une application unique f de X dans B telle que :

f(x)= T(x,f(x)) sur X. On suppose de plus que X est un espace modulaire

quelconque (ou espace topologique vérifiant le premier axiome de

dénombrabilité), T est continue par rapport à son premier argument

et rho vérifie la condition delta2.

Démontrer que f est continue sur X.

Version locale parametree du theoreme du point fixe de Banach

2007-03-05T06:39:00.000-08:00

Exercice

Soient X un ensemble quelconque et E un espace metrique

complet.B est une boule ouverte dans E de centre z et de rayon

r.T est une application de XxB dans E verifiant :

Il existe k dans ]0,1[ tel que d(T(x,y),T(x,y'))\leq k d(y,y')

pour tout x dans X et tout (y,y') dans BxB. On suppose que pour

tout x dans X,d(T(x,z),z)< r(1-k).

Demontrer qu'il existe une application unique f de X dans

B telle que : f(x)= T(x,f(x)), sur X. Si de plus, X est un espace

topologique et T est continue par rapport a son premier argument,

montrer que f est continue sur X.

Preuve:

D'apres la version locale(voir le resultat ci-dessous),pour

chaque x dans X,l'application T(x,.) de B dans E possede

un point fixe unique,note f(x),c-à-d,T(x,f(x))=f(x),ce qui

permet de definir une application f de X dans B.Demontrons

que f est unique;en effet:

Soit g une autre application de X dans B telle que T(x,g(x))=g(x),

alors,pour tout x dans X:

d(f(x),g(x))=d(T(x,f(x)),T(x,g(x)))\leq k d(f(x),g(x))

Ceci entraine que f=g sur X.

pour la continuite de f,soit x,x' dans X,alors,on a :

d(f(x),f(x'))=d(T(x,f(x)),T(x',f(x')))

\leq d(T(x,f(x)),T(x,f(x')))+d(T(x,f(x')),T(x',f(x')))

\leq k d(f(x),f(x'))+d(T(x,f(x')),T(x',f(x')))

De la: d(f(x),f(x'))\leq (1/1-k) d(T(x,f(x')),T(x',(x'))

D'ou la continuite de f en x'

Remarque.

Pour une demonstration directe,dans les espaces de Banach,

de ce resultat,voir[Dieudonne].Rappelons que ce resultat est utlise pour

une demonstration directe du theoreme des fonctions implicites.

voir[Dieudonne]-[Deimling ].

version locale du theoreme du point fixe de Banach(version modulaire)

2007-02-24T09:02:00.000-08:00

Dans les espaces modulaires,le resultat suivant, propose

une généralisation de la version locale du principe de

contraction dans les espaces de Banach.

Execice

Soit (E,rho) un espace modulaire complet, ou le modulaire rho

vérifie la propriéte de Fatou.

Soit la boule B=B(y,r)={x: rho(x-y) est strictement inférieur à r}.

T est une application de B dans E fortement contractante, c-à-d,

il existe deux constantes p,k,avec k dans ]0,1[et p>1

telles que:

rho(p(Tx-Ty))\leq k rho(x-y) sur ExE

On suppose que rho(q(Ty-y)< (1-k) r,ou q est le conjugué de p,

c-à-d,(1/p)+(1/q)=1.Démontrer que T admet un point fixe.

Preuve:

On suit les memes démarches du cas métrique.

Soit r' dans ]0,r[ tel que rho(q(Ty-y)) \leq(1-k)r'<(1-k) r.

Considérons la boule D={x:rho(x-y)\leq r'}.Montrons que D est stable par T;

en effet, pour x dans D,on a:

rho(Tx-y)=rho((p/p)(Tx-Ty)+(q/q)(Ty-y ))

\leq rho(p(Tx-Ty))+rho (q(Ty-y))

\leq kr'+(1-k)r'=r'

Comme rho vérifie la propriéte de Fatou,D est rho- férmé (à vérifier).Par le

théorème2.1 dans[Hanebaly(2005)], T admet un point fixe.

Version locale du theoreme du point fixe de Banach

2007-02-20T13:46:00.000-08:00

Exercice

Soit (E,d) un espace metrique complet.B=B(y,r) est la boule ouverte

de centre y et de rayon r dans E.T est une application de B dans E

k-strictement contractante.Si d(Ty,y)<(1-k)r,montrer que T admet

un point fixe.

(Indication:chercher une boule fermee de centre y,stable par T)

Preuve:

Choisir 0< r'< r tel que d(Ty,y)\leq (1-k)r'<(1-k)r.

Montrons que la boule fermee D={x:d(x,y)\leq r'} est stable par T.

En effet,si x est dans D,alors:

d(Tx,y)\leq d(Tx,Ty)+d(Ty,y)\leq kd(x,y)+(1-k)r'\leq r'.

Comme D est complet,l'existence du point fixe de T suit du principe

de contraction de Banach.

Probleme ouvert dans la theorie du point fixe(Espaces modulaires)(2)

2007-02-13T12:51:00.000-08:00

Le probleme suivant est implicite dans les travaux anterieurs:

Soit (E,\rho) un espace modulaire complet;D est un sous-ensemble

de E \rho-ferme.Soit T une application de D dans D \rho-strictement

contractante,c-a-d,:

Il existe k dans ]0,1[ telle que \rho(Tx-Ty)\leq k \rho(x-y),sur DxD

Alors, T possede-t-elle un point fixe?

Remarque:

Si B est \rho-borne,la reponse est positive et la demonstration est

presque immediate.Si rho verifie la condition delta2, et rho(x-y) est

fini pour tout x,y dans D,le theoreme3.1 [Hanebaly(2005)] propose un resultat.

.Voir aussi Ait taleb-Hanebaly(Message-References)

References

2007-02-02T10:20:00.003-08:00

Bibliographies(texte provisoire)

Livres:

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Solution periodique des equations differentielles fortement monotones sur les espaces de Hilbert

2007-01-01T06:39:00.000-08:00

Soit H un espace de Hilbert reel muni d' un produit

scalaire note <.,.> et de la norme associee notee I.I.

On considere le probleme de Cauchy suivant:

x' + c x=f(t) (1) x(0)=x_{0}\in H (2)

ou c est une constante strictement positive et

f est une application continue p-periodique de IR

dans H(p >0)

i) Montrer que l'operateur de Poincare Tz(0)=z(p),ou z

est une solution du probleme(1)-(2),sur la droite reelle IR ,

a un sens.Demontrer que T est strictement contractante de

H dans H.Commencer par la demonstration de l'inegalite

suivante:

Ix(t)-y(t)I<=exp(-ct)Ix_{0}-y_{0}I,

ou x et y sont deux solutions de l'equation(1) associees

à deux valeurs initiales distinctes x(0) et y(0).

ii)En deduire que l'equation(1) possede une solution

p-periodique unique,notee P.

iii)Determination de la solution periodique.

Soit le probleme de Cauchy suivant:

x'+c x=f(t)(1) x(-n)=y_{n}(3)

ou { y_{n}}est une suite bornee dans H.

a)Expliciter la solution,notee x_{n}, de (1)-(3)

b)verifier que x_{n} converge simplement vers

une solution p-periodique de l'equation(1)

c)Examiner la convergence uniforme de la suite {x_{n}}

vers P dans IR.

iv)Montrer que toute solution de l'equation(1),notee

x(t)=x(t,t_{0},x(t_{0}) est asymptotiquement periodique,

c-à-d,x(t)-P(t)---->0,lorsque t --->+l'infini.

v)On remplace la constante c par une fonction c(t)dans

l'equation(1).Quelles hypotheses adequates sur c(t),

pour obtenir les memes resultats ci-dessus?

Probleme ouvert dans la theorie du point fixe(1)

2006-12-04T12:16:00.000-08:00

Le theoreme du point fixe de Kannan suggere le probleme suivant:

Soit (E,I.I) un espace de Banach.D est un sous-ensemble de E,

ferme, borne et convexe.T est une application continue de D dans D,

verifiant la 'contraction' suivante:

ITx-TyI\leq max[Ix-TxI,Iy-TyI], sur DxD

T admet-t'elle un point fixe si E est un 'bon' espace,

par exemple, les espaces:de Hilbert,uniformement convexes,

à structure normale,uniformement localement convexes.?

Solutions des equations differentielles du type Lipschitz

2006-11-28T08:26:00.000-08:00

I. L'application classique du théoreme du point fixe de Banach

la plus connue est la démonstration du théoreme d'existence et

d'unicite des solutions des équations intégrales

(ou differentielles)du type Lipschitz:

Soit (E ,I.I) un espace de Banach réel. C désigne l'éspace des

fonctions continues définies sur [0,T]à valeurs dans E.

On sait que l'espace C,muni de la norme sup,est de Banach.

On definit une nouvelle norme sur C par:

IIfII=max{exp(-Lt)If(t)I;0<= t\<= T} (1)

Exercice.Montrer que II.II est une norme equivalente

a la norme sup.

Theoreme1

Soit K une application continue de [0,T]x[0,T)xE

dans E qui satisfait la condition de Lipschitz:

Il existe k >0 : IK(t,s,x)-K(t,s,y)I<= kIx-yI

pour tout (t,s) dans [0,T]x[0,T],et x,y dans E.

Alors pour chaque f dans C l'équation intégrale

de Volterra:

x(t)=f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s)ds (0<=t<= T) (2)

possède une solution unique x dans C.De plus

la suite{x_{n}} d'itérations définie par :

x_{0} dans C et x_{n+1}(t)=f(t)+

\int_{0}^{t}K(t,s,x_{n})ds

converge uniformement sur [0,T] vers la solution

unique x.

Preuve:

On definit une application S sur C par :

S(x)(t)= f(t)+\int_{0}^{t}K(t,s,x(s))ds;

Il est evident que C est stable par S(SC\subset C)

(à justifier)

Montrons que S est strictement contractante de C

dans C;en effet,

pour x,y dans C,on a

IS(x)(t)-S(y)(t)I

<=\int_{0}^{t} IK(t,s,x(s)-K(t,s,y(s)I ds

<= k \int_{0}^{t} Ix(s)-y(s)I ds

=k \int_{0}^{t} exp (Ls) exp(-Ls)Ix(s)-y(s)I ds

<= kIIx-yII \int_{0}^{t} exp(Ls) ds

=(k/L)IIx-yII (exp(Lt)-1)

En multipliant l'inégalité par exp(-Lt) ,on trouve:

exp(-Lt)IS(x)(t)-S(y)(t)I<=(k/L)IIx-yII (1-exp(-Lt))

En passant au maximum sur [0,T],on a:

IIS(x)-S(y)II<=(k/L)1-exp(-LT))IIx-yII

On prend L >=k,donc (1-exp(-LT))<1,

Par conséquent S est strictement contractante et

de là, elle admet un point fixe unique dans C.

La convergence de la suite {x_{n}} dans C,suit du

principe de contraction de Banach.

Corollaire.

Soit (E,I.I) un espace de Banach;[0,T] est intervalle

dans IR.f est une application continue de [0,T]xE

dans E telle que:

Il existe k >0 tel que : If(t,x)-f(t,y)I <= kIx-yI

pour tout (t,x,y) dans [0,T]xExE

Alors le problème de Cauchy:

x'=f(t,x) (1) x_{0}=z appartenant à E (2)

possède une solution unique définie sur [0,T]

Preuve:

Soit K(t,s,u)=f(s,u) et f(t)=z dans (2),l'équation

de Volterra devient:

x(t)=z+\int_{0}^{t}f(s,x(s))ds

La solution de cette équation intégrale est

précisément la solution du problème de Cauchy (1)-(2).

Demonstrations du theoreme du point fixe de Banach

2006-10-26T05:16:00.000-07:00

Le theoreme du point fixe de Banach,(connu aussi sous le nom:principe de contraction de Banach),est apparu pour la premiere fois dans la these de Banach en 1922,où il est utilise pour la resolution d'une equation integrale.Notons que ce theoreme est une abstraction de la methode classique des approximations successives introduite par Liouville(1837) et develpppe,par la suite,par Picard(1890)

A cause de sa simplicite et de son utilite,ce theoreme est largement utilise dans plusieurs branches de l'analyse,en particulier dans le chapitre des equations differntielles .

Le theoreme de Banach a connu differentes generalisations dans les espaces: metriques, topologiques localement convexes,uniformes et modulaires.

Theoreme de Banach.

Theoreme 1.

Soient (E,d) un espace metrique complet et D un sous-ensemble ferme de E.Soit T une application de D dans D strictement contractante ,c-a-d

il existe k dans ]0,1[ tel que d(Tx,Ty)<= k d(x,y), sur DxD (1.1)

Alors:

i)T admet un point fixe unique z appartenant à D.

ii)Pour tout a dans D et x_{n+1}=Tx_{n},pour

n=1,2,...,alors lim x_{n}=z et on a l'estimation:

d(x_{n},z)<= k^{n}(1-k)^{-1}d(Ta,a) (1.2)

Remarque1

On va presenter trois demonstrations du theoreme1.La premiere est constructive,c'est la demonstration originelle de Banach qui donne l'approximation du point fixe(1.2)ci-dessus.La deuxieme est non-constructive ,et demontre seulement l'existence du point fixe;elle est basee sur le principe des ensembles emboites.La troisieme est une variante de la premiere demonstration.

Preuve:

Premiere demonstration.

Premiere etape.

Lemme1.

Soient (E,d) un espace metrique complet et D un sous--ensemble ferme de E.T est une application de D dans D verifiant la stricte contraction faible suivante:

il existe k dans ]0,1[ tel que d(Tx,T^{2}x)<= k d(x,Tx) sur D (1.3)

Alors ,pour tout a dans D, la suite d'iterations{T^{n}x} converge dans D.

preuve:

Soit a un element quelconque de D.On definit la suite d'iterations

{x_{n}) par: x_{n+1}=T x_{n}(equivalent à x_{n}=T^{n}a),n=0,1,2,...

Montrons que la suite {x_{n}} est de Caucy,en effet:

d(x_{n},x_{n+m}=d(T^{n}a,T^{n+m}a)=d(T^{n}a,T^{n}oT^{m}a)

<= k^{n}d(a,T^{m}a)

<= k^{n}[d(a,Ta)+d(Ta,T^{2}a)+....+d(T^{m-1}a,T^{m}a)]

<= k^{n}(1+k+K^{2}+....+k^{m-1})d(a,Ta)

<= k^{n}(1-k^{m}/1-k) d(a,Ta) (1.4)

(1.4) tend vers 0 lorsque n et m tendent vers l'infini.Donc {x_{n}} est une suite de Cauchy;comme E est complet et D est ferme, cette esuite coverge vers z dans D.

Deuxieme etape.

Comme T est strictement contractante,alors T est continue.T^{n}a(Resp.T^{n+1}a) tend vers z(Resp. Tz),lorsque n tend vers l'infini, donc Tz=z.Pour l'unicite du point fixe ,si Tx=x et Ty=y,on a d(x,y)=d(Tx,Ty)<= k d(x,y) ce qui entraine que d(x,y)=0 et x=y.
Lorsque m tend vers l'infini dans (1.4), on trouve l'estimation (1.2)du point fixe .

Remarque2.

La lecture de la demonstration ci-dessus, montre que,à l'exception de l'unicite , l'existence du point fixe et l'estimation (1.3)sont demontres sous les hypotheses faibles suivantes:

T est continue et verifie la stricte contraction faible (1.3) du lemme 1.

On peut meme remplacer la continuite de T par l'hypothese faible: T est ferme (ou le graphe de T est ferme).

Deuxieme demonstration

.Soit c=Inf{ d(x,Tx); x appartenant à D},alors, pour epsilon > 0,il existe x=x(epsilon ) dans D tel que d(x,Tx)<= c+epsilon;donc :

c <= d(Tx,T^{2}x)<= k d(x,Tx)<= k(c+epsilon)

d'ou c <= epsilon/1-k. epsilon etant arbitraire,donc c=0.

..maintenant,soit une suite {epsilon_{n}} dans IR^{+} decroissante et

tendant vers 0.Considerons l'ensemble :

M_{n} =M_{epsilon_{n}}={x dans D : d(x,Tx)<=epsilon_{n}}

M_{n} est non-vide et ferme(à justifier). De plus,pour x,y dans M_{n},on a :

d(x,y)<= d(x,Tx)+d(Tx,Ty)+d(Ty,y)

<= 2 epsilon_{n}+k d(x,y)

d'où d(x,y)<= 2 epsilon_{n}/1-k

Donc , Lim diam ( M_{n})=0,lorsque n tend vers l'infini.(diam designe le diametre)

Par le theoreme de Cantor,l'intersection des M_{n} est reduit a un

point qui est le point fixe de T.

Troisieme demonstration.

Soit f(x)=(1/1-k)d(x,Tx),x dans D. Aors,on a :

d(x,Tx)- k d(x,Tx)<= d(x,Tx)- d(Tx,T^{2}x)

De là :

d(x,Tx)<= f(x)-f(Tx), sur D (1.5)

Pour a fixe dans D et n,m dans IN avec n < m, on a :

Les sommations(sum)suivantes sur l'indice i dans [n,m] donnent:

d(T^{n}a,T^{m+1}a)<= sum d( T^{i}a,T^{i+1}a)<= f(T^{n}a)-f(T^{m+1}a) (1.6)

D'autre part, la suite s_{n}=sum f(T^{i}a)=f(Ta)-f(T^{n}a)<= f(Ta)

Donc,la suite{s_{n}},etant croissante et majoree,est convergente;et la serie {f(T^{i}a}converge;ce qui entaine,par (1.6),que la suite ,{T^{n}a} est de cauchy.Par la continuite de T,elle converge vers un point fixe z de T.L'estimation du point fixe est obtenue comme suit;de (1.6) on a:

d(T^{n}a,T^{m+1}a)<= f(T^{n}a), pour tout m dans IN

Lorsque m tend vers l'infini on obtient:

d(T^{n}a,z)<= f(T^{n}a)=(1/1-k)d(T^{n}a,T^{n+1}a)

<= k^{n}.(1/1-k) d(a,Ta)

Remarque3

La demonstration ci-dessus,comme la premiere, montre l'existence d'un point fixe de T et l'estimation(1.2) sous les hypotheses faibles :

T est continue(ou plus generalement ferme) et verifie (1.5) où f est une fonction quelconque de D dans IR^{+}.

Si T est arbitraire et f est semi-continue inferieurement dans (1.5),Caristi (1976) a demontre que T admet un point fixe(notons que f,dans le cas ci-dessus ,est minore par 0);mais,on n'a pas l'unicite du point fixe,ni la convergence de la suite {T^{n}a} vers un point fixe de T.

Remarque4.

Si T: D --- D est contractive ou contractante) dees exemples montrent que T n'a pas de point fixe(voir le message de 18/12/2007)

Bibliograhie(voir le message de 2/02/2007)

Banach,S. Caristi,J Deimling,K. Dugundji,J-Granas,A.

Goebel,K-Reich,S. Kirk,W.A.-Goebel,K. Liouville,J. Picad,E.

Theorem

Let (X,d) be a complete metric space and

T:X --->X be a contraction :

There is a number k in ]0,1[ such that:

d(Tx,Ty)<=kd(x,y) on XxX.

Then T have a unique fixed point z in X.

Moreover,if x(o) in X and x(n)=Tx(n-1),

for n=1,2,...,then lim x(n)=z and we have

the estimate:

d(x(n),z)<=k^{n}(1-k)^{-1} d(x(0,Tx(0))

for n=1,2,...

Comparaison entre les theoremes du point fixe de Banach et Kannan

2006-09-11T10:53:00.000-07:00

.

(Le texte qui suit, a ete poste le 4/06/06,supprime par erreur, le 10/09/06)

Theoreme1(Banach 1922)

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application de

E dans E strictement contractante ,c-a-d,;

Il exists k dans (0,1) tel que : d(Tx,Ty)<= k d(x,y) sur ExE (1)

Alors:

i) T admet un point fixe unique z.

ii) pour tout x dans E, la suite d'iterations {T^{n}x} converge vers

z et on a l'estimation:

d(z,T^{n}x)<=(k^{n}/1-k) d(z,Tz)

Il existe plusieurs demonstrations de ce theoreme important.

(voir Goebel-Kirk(1990)).Dans la demonstration originelle de Banach,

on dégage la propriété suivante:

Lemme1

Soit (E,d) un espace metrique complet.T est une application de E

dans E verifiant la stricte contraction faible,c-à-d,:

(2)Il exists k dsans (0,1) tel que: d(Tx,T^{2}x)<=k d(x,Tx), sur E (2)

Alors,pour tout x dans E,la suite d'iterations {T^{n}x} converge dans E.

La demonstration de ce lemme est contenue dans la demonstration

originelle de Banach.Par consequent,si T est continue

(ou plus generalement ferme ou à graphe ferme) verifiant

la stricte contraction faible,on a toutes les conclusions

du theoreme1,sauf l'unicité.D'autre part,Kannan[4] a propose

le resultat suivant:

Theoreme2

Soit(E,d) un espace metrique complet. T est une application

de E dans E verifiant:

Il exists k dans (0,1/2) tel que:

d(Tx,Ty)<= k d(x,Tx)+k d(y,Ty) sur ExE (3)

Alors, T admet un point fixe unique z ,et pour tout x dans E,

la suite d'iterations {T^{n}x} converge vers Z

Preuve:

Si y=Tx dans (3),on constate que T verifie (2)(la stricte contraction

faible) ,avec K=k/1-k.De là,pour x quelconque dans E,la suite{T^{n}x}

converge vers z dans E.D'autre part:

d(z,Tz)<=d(z,T^{n+1}x)+d(T^{n+1}x,Tz)

<= d(z,T^{n+1}x)+k d(T^{n}x,T^{n+1}x)+k d(z,Tz)

ce qui entraine que:

d(z,Tz)<=(1/1-k)[d(z,T^{n+1}x)+k d(T^{n}x,T^{n+1}x)]

Le second membre de l'inegalite ci-dessus tend vers 0,Lorsque

n tend vers l'infini,ce qui entraine que d(z,Tz)=0,et Tz=z.

D'autre part,si T admet deux points fixes z,z';alors:

d(z,z')=d(Tz,Tz')<= k[d(z,Tz)+d(z',Tz')]=0 et z=z'.

Pour une autre version de demonstration du theoreme2 ,

voir Deimling(1984).L'exemple suivant montre que T n'est

pas necessairement continue:

Soient E=[0,1],Tx=x/4 sur [0,1]-{1/n} et Tx=x/8 sur {1/n}( n entier >0)

La verification des hypotheses du theoreme2 est facile

(k=1/3,0 est le seul point fixe de T.)

En conclusion,le theoreme1 etle theoreme2 sont differents,

le seul point commun est le lemme1 qui est implicite dans (1) et(3).

(Voir message references 2/2/2007 pour les auteurs cités)

Une synthese simple entre les theoreme du point fixe de Banach et Kannan

2006-09-10T06:21:00.000-07:00

Le resultat suivant propose une synthese simple entre les theoremes du point fixe dus a Banach et Kannan.(voir un exemple d'une synthese assez laborieuse proposee par
Anderson,D.E.-Singh,K.L.-Withfield,J.H.M.M.Message references 2/02/2007)

Theoreme
Soit (E,d) un espace metrique compet.T est une application (non necessairement continue)de E dans E et telle que :
Il existe un k dans (0,1) tel que d(Tx,Ty)<=kmax(d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty)) sur ExE (*)
Alors, T admet un point fixe unique.

Il est evident que le resultat ci-dessus englobe les theoremes du point fixe de Banach et Kannan.La demonstration ci-dessous ,basee sur les techniques standards de la demonstration originelle de Banach, montre que la demarche de Kannan apporte le fait que le theoreme de Banach est valable sans la continuite de T.

Preuve:

En posant y=Tx dans la contraction (*),on obtient:

d(Tx,T^{2}x)<= k max(d(x,Tx),d(Tx,T^{2}x)

S'il existe un x dans E tel que d(x,Tx)<= d(Tx,T^{2}x),

alors ,d'apres l'inegalite ci-dessus, d(Tx,T^{2}x)=0;et Tx est un point fixe.L'unicite de point fixe est evidente par la contraction(*) (à verifier).Sinon,on a :

d(Tx,T^{2}x)<= k d(x,Tx) sur E

c-à-d ,T verifie la sticte contraction faible.On sait que ,pour tout x dans E ,la suite {T^{n}x}converge vers z dans E.on a :

d(z,Tz)<=d(z,T^{n}x)+d(T^{n}x,T^{n+1}x)+d(T^{n+1}x,Tz)

les deux premies termes à droite de l'inégalite ci-dessus,tendent vers 0.lorsque n tend vers l'infini.Pour le troisieme terme,on a,par (*);

d(T^{n+1}x,Tz)<= k max(d(T^{n}x,z),d(T^{n}x,T^{n+1}x),d(z,Tz))

qui est inferiur à k d(z,Tz),pour n assez grand.Ceci entraine que d(z,Tz)=0.L'unicite du point fixe z est evidente par (*).

Question.

Peut-on avoir(ou existe-t-il)une synthese entre les theoremes de Banach et Kannan ,sans intervenir le terme d(x,y) dans la contraction(*)?