Généralisations simples du théorème du point fixe de Banach

Exercice

Soit (E,d) un espace métrique complet.T est une application de

E dans E.Montrer que ,pour tout x dans E, {T^{n}x} converge

dans E,vers un point fixe unique de T,si l'une des conditions

suivantes est vérifiee:

i)Il existe un entier n>= 1 et une constante k dans ]0,1[

telles que:

d(T^{n}x,T^{n}y)<= k d(x,y) sur ExE.

ii)Il existe une suite {k_{n}} dans IR^{+} telle que:

d(T^{n}x,T^{n}y)<= k_{n} d(x,y) sur ExE(*)

où la série [k_{n}] est convergente .

iii)E est muni d'une autre distance d' telle que:

d(x,y)<=d'(x,y) sur ExE,

T est continue par rapport à d et strictement contractante

par rapport à d'.